题目内容
如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A（-
，0），点C（0，3），点B是x轴上一点（位于点A的右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C．（1）求∠ACB的度数；
（2）已知抛物线y=ax2+bx+3经过A、B两点，求抛物线的解析式；
（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角可以得到∠ACB的度数．
（2）利用三角形相似求出点B的坐标，然后把A，B两点的坐标代入抛物线求出抛物线的解析式．
（3）分别以OB为底边和腰求出等腰三角形中点D的坐标．
解答：解：（1）∵以AB为直径的圆恰好经过 点C，
∴∠ACB=90°．
（2）∵△AOC∽△COB，
∴OC2=AO•OB，
∵A（-
，0），点C（0，3），
∴
，OC=3，
又∵CO2=AO•OB，
∴
，
∴OB=4，
∴B（4，0）把 A、B、C三点坐标代入得
．
（3）①OD=DB，如图：
D在OB 的中垂线上，过D作DH⊥OB，垂足是H，则H是OB中点．
Ⅴ
DH=
，
，
∴D
，
②BD=BO，如图：
过D作DG⊥OB，垂足是G，
∴
=
=
，
∵OB=4，CB=5，
∴BD=OB=4，
∴
=
，
∴
=
=
，
∴BG=
，DG=
，
∴OG=BO-BG=
，
∴D（
，
）．
点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据圆周角的性质求出角的度数．（2）用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）根据等腰三角形的性质确定点D的坐标．
（2）利用三角形相似求出点B的坐标，然后把A，B两点的坐标代入抛物线求出抛物线的解析式．
（3）分别以OB为底边和腰求出等腰三角形中点D的坐标．
解答：解：（1）∵以AB为直径的圆恰好经过 点C，
∴∠ACB=90°．
（2）∵△AOC∽△COB，
∴OC2=AO•OB，
∵A（-
，0），点C（0，3），∴
，OC=3，又∵CO2=AO•OB，
∴
，∴OB=4，
∴B（4，0）把 A、B、C三点坐标代入得
．（3）①OD=DB，如图：
D在OB 的中垂线上，过D作DH⊥OB，垂足是H，则H是OB中点．
Ⅴ
DH=
，，∴D
，②BD=BO，如图：
过D作DG⊥OB，垂足是G，
∴
==，∵OB=4，CB=5，
∴BD=OB=4，
∴
=，∴
==，∴BG=
，DG=，∴OG=BO-BG=
，∴D（
，）．点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据圆周角的性质求出角的度数．（2）用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）根据等腰三角形的性质确定点D的坐标．
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