题目内容
【题目】如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）边长为
cm，面积为
cm2．
【解析】试题分析：（1）由正方形可得EH∥BC，所以可以得到对应的两组角相等，即可证明相似；（2）设正方形边长为x，再由△AEH∽△ABC得到对应边成比例，列出关于x的方程，解出x即可．
试题解析：
(1)证明：∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，∴△AEH∽△ABC；
(2)解：∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，∴四边形EFDM是矩形，∴EF＝DM.设正方形EFGH的边长为xcm，∵△AEH∽△ABC，∴ 
，∴
，解得x＝
.
∴正方形EFGH的边长为
cm，面积为
cm2.
点睛:两个三角形的相似比等于对应的高之比,角平分线之比,中线之比．
【题目】（教材回顾）课本88页，有这样一段文字：人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，我们经常用这样的方法探究规律．
（数学问题）三角形有3个顶点，如果在它的内部再画n个点，并以这(n+3)个点为顶点画三角形，那么最多可以剪得多少个这样的三角形？
（问题探究）为了解决这个问题，我们可以从n=1，n=2，n=3等具体的、简单的情形入手，探索最多可以剪得的三角形个数的变化规律．
三角形内点的个数 | 图形 | 最多剪出的小三角形个数 |
1 |
| 3 |
2 |
| 5 |
3 |
| 7 |
… | … | … |
（问题解决）
(1) 当三角形内有4个点时，最多剪得的三角形个数为______________；
(2) 你发现的变化规律是：三角形内的点每增加1个，最多剪得的三角形增加______个；
(3) 猜想：当三角形内点的个数为n时，最多可以剪得_______________个三角形；
像这样通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．
（问题拓展）
（4）请你尝试用归纳的方法探索1+3+5+7+…+（2n-1）+（2n+1）的和是多少？
