题目内容

如图，将边长为 $数学公式$ 的菱形ABCD纸片放置在平面直角坐标系中．已知∠B=45°，画出边AB沿y轴对折后的对应线段AB′，AB′与边CD交于点E；
（1）直接写出D点坐标；
（2）求出线段CB′的长；
（3）求点E的坐标．

解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB= $\text{[math]}$ ，∠B=45°，
∴OA=OB=1，
∴A（0，1），B（-1，0），
∴B（ $\text{[math]}$ ，1）；
（2）∵OB=1，BC= $\text{[math]}$ ，
∴OC= $\text{[math]}$ -1，
∵△AOB′由△AOB折叠而成，
∴OB=OB′=1，
∴CB′=OB′-OC=1- $\text{[math]}$ +1=2- $\text{[math]}$ ；

（3）∵OC= $\text{[math]}$ -1，OB′=1，
∴C（ $\text{[math]}$ -1，0），B′（1，0），
过点E作EF⊥x轴于点F，
∵四边形ABCD是菱形，∠B=45°，
∴∠ECF=∠EB′F=45°，
∴△ECB′是等腰直角三角形，
∴CF=EF= $\text{[math]}$ CB′=1- $\text{[math]}$ ，
∴F点的横坐标= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴点E（ $\text{[math]}$ ，1- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）先根据AB= $\text{[math]}$ ，∠B=45°可知OA=OB=1，故A（0，1），B（-1，0），故可得出D点坐标；
（2）先由OB=1，BC= $\text{[math]}$ 可求出OC的长，再根据翻折变换的性质可知OB=OB′=1，故可得出线段CB′的长；
（3）先由OB的长及图形翻折变换的性质得出OC= $\text{[math]}$ -1，OB′=1，故可得出C，B′两点的坐标，过点E作EF⊥x轴于点F，由菱形的性质可判断出△ECB′是等腰直角三角形，再由等腰直角三角形的性质即可得出E点坐标．
点评：本题考查的是菱形的性质及图形翻折变换的性质，先根据菱形的性质求出A、B、C、D各点的坐标是解答此题的关键．