Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝与x轴、y轴分别相交于点A、B，直线l2与直线y＝﹣x平行，且与直线l1相交于点B，与x轴交于点C．

（1）求点C坐标；

（2）若点P是y轴右侧直线l1上一动点，点Q是直线l2上一动点，点D（﹣2，6），求当S△PBC＝S四边形AOBD时，点P的坐标，并求出此时，PQ+DQ的最小值；

（3）将△AOB沿着直线l2平移，平移后记为△A1O1B1，直线O1B1交11于点M，直线A1B1交x轴于点N，当△B1MN是等腰三角形时，求点A1的横坐标．

Answer 1

【答案】（1）C（3，0）；

（2）（﹣，﹣ ），PQ+DQ的最小值为 ；

（3）A1的横坐标为： 或 或0或﹣．

【解析】

（1）直线l1：y＝x+与x轴、y轴分别相交于点A、B，则点A、B的坐标分别为：（﹣，0）、（0，），直线l2与直线y＝﹣x平行，且过点B，则直线l2的表达式为：y＝﹣x+，即可求解；

（2）S四边形AOBD＝S矩形MDNO﹣（S△BND﹣S△ABO﹣S△AMD）＝，S△PBC＝2×2m＝7，解得：m＝，故点P（，），作点P关于直线l2的对称点P′，连接DP′交l2于点Q，则点Q为所求点，PQ+DQ的最小值为DP′，即可求解；

（3）分B1M＝B1N、B1M＝MN、B1N＝MN三种情况，分别求解即可．

解：（1）直线l1：y＝x+与x轴、y轴分别相交于点A、B，则点A、B的坐标分别为：（﹣，0）、（0，），

直线l2与直线y＝﹣x平行，且过点B，

则直线l2的表达式为：y＝﹣x+，令y＝0，则x＝3，

故点C（3，0）；

（2）过点D分别作x、y轴的垂线交于点M、N，设点P（m，m+），

S四边形AOBD＝S矩形MDNO﹣（S△BND﹣S△ABO﹣S△AMD）＝，

S△PBC＝2×2m＝7，解得：m＝，故点P（，），

作点P关于直线l2的对称点P′，连接DP′交l2于点Q，则点Q为所求点，PQ+DQ的最小值为DP′，

则点P′、P关于点B对称，由中点公式得：点P′（﹣，﹣），而D（﹣2，6），

故：DP′＝，

故PQ+DQ的最小值为；

（3）设三角形OAB向左平移m个单位，则向上平移了m个单位，

则点B1的坐标（﹣m，m+），点M（﹣m，﹣m+），则A1的横坐标为：﹣﹣m，

设直线A1B1的表达式为：y＝x+b，将点B1的坐标代入上式并解得：

直线A1B1的表达式为：y＝x+2m+，

令y＝0，则点N（﹣2m﹣，0），

则B1M＝（2m）2＝12m2，NB2＝（﹣m﹣）2+（m+）2，MN2＝（﹣m﹣）2+，

当B1M＝B1N时，，解得：m＝；

当B1M＝MN时，同理可得：m＝﹣ 或；

当B1N＝MN时，解得：m＝0（舍去）；

综上A1的横坐标为： 或 或0或﹣．