Question

【题目】如图，直线y=﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线y=x相交于点A.

（1）求A点坐标；

（2）如果在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形，则P点坐标是　 　；

（3）在直线y=﹣2x+7上是否存在点Q，使△OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）A点坐标是（2，3）；（2）（0，）；（3）存在；点Q是坐标是（，）或（，﹣）.

【解析】

（1）联立方程，解方程即可求得；

（2）设P点坐标是（0，y），根据勾股定理列出方程，解方程即可求得；

（3）分两种情况：①当Q点在线段AB上：作QD⊥y轴于点D，则QD=x，根据S△OBQ=S△OAB-S△OAQ列出关于x的方程解方程求得即可；②当Q点在AC的延长线上时，作QD⊥x轴于点D，则QD=-y，根据S△OCQ=S△OAQ-S△OAC列出关于y的方程解方程求得即可．

（1）解方程组：得：

∴A点坐标是（2，3）；

（2）设P点坐标是（0，y），

∵△OAP是以OA为底边的等腰三角形，

∴OP=PA，

∴22+（3﹣y）2=y2，

解得y=，

∴P点坐标是（0，），

故答案为（0，）；

（3）存在；

由直线y=﹣2x+7可知B（0，7），C（，0），

∵S△AOC=××3=＜6，S△AOB=×7×2=7＞6，

∴Q点有两个位置：Q在线段AB上和AC的延长线上，设点Q的坐标是（x，y），

当Q点在线段AB上：作QD⊥y轴于点D，如图①，则QD=x，

∴S△OBQ=S△OAB﹣S△OAQ=7﹣6=1，

∴OBQD=1，即×7x=1，

∴x=，

把x=代入y=﹣2x+7，得y=，

∴Q的坐标是（，），

当Q点在AC的延长线上时，作QD⊥x轴于点D，如图②则QD=﹣y，

∴S△OCQ=S△OAQ﹣S△OAC=6﹣=，

∴OCQD=，即××（﹣y）=，

∴y=﹣，

把y=﹣代入y=﹣2x+7，解得x=，

∴Q的坐标是（，﹣），

综上所述：点Q是坐标是（，）或（，﹣）.