题目内容

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 $数学公式$ 的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA= $数学公式$ ，点B的坐标为（ $数学公式$ ，m），过点A作AH⊥x轴，垂足为H，AH= $数学公式$ HO．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

解：∵AH⊥x轴，且OA= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴由勾股定理AO²=AH²+HO²，
可化为 $\text{[math]}$ ，
解得HO=2，AH=1，
∴A点坐标为A（-2，1），代入反比例函数的解析式y= $\text{[math]}$ 中，
得a=-2，
∴反比例函数的解析式为y= $\text{[math]}$ ．
∵点B（ $\text{[math]}$ ）在y= $\text{[math]}$ 上，
∴B（ $\text{[math]}$ ，-4）
把A（-2，1）、B（ $\text{[math]}$ ，-4）代入y=kx+b，得 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴一次函数的解析式为y=-2x-3；

（2）y=-2x-3中，当y=0时，x= $\text{[math]}$ ；
∴直线y=-2x-3和x轴的交点C点的坐标为C（- $\text{[math]}$ ，0）
∴OC= $\text{[math]}$
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×1+ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×4= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先根据勾股定理求出A点的坐标，再由点A的坐标求出反比例函数的解析式为y= $\text{[math]}$ ，再求出B的坐标是（ $\text{[math]}$ ，-4），利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）把△AOB的面积分成两个部分求解S_△AOB= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×1+ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×4= $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，在求解面积时要把面积分解为两部分之和进行求解．