Question

正整数系数二次方程ax²+bx+c=0有有理数根，则a，b，c中（ ）
A．至少有一个偶数
B．至少有一个质数
C．至少有一个奇数
D．至少有一个合数

Answer 1

【答案】分析：设△=b²-4ac=m²，m是整数．先假设a，b，c全为奇数，令b=2n+1，ac=2k+1，然后变形△，得到8的倍数减3，这与奇数m的平方是8的倍数加1矛盾，得到A对；再通过特例否定B，C，D．
解答：解：A、因判别式△=b²-4ac=m²，m是整数．若a，b，c全为奇数，则ac和m也为奇数．令b=2n+1，
ac=2k+1，则△=8[]-3，这与奇数m的平方是8的倍数加1矛盾．则a，b，c全为奇数不成立，
所以A对．
B、方程4x²+8x+4=0有有理数根，则B错；
C、方程2x²+4x+2=0有有理数根，则C错；
D、方程3x²+5x+2=0有有理数根，则D错；
故答案为A．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b²-4ac．当△为完全平方数时，方程有有理数根．同时考查了奇数，偶数，质数和合数的定义．