Question

已知：如图，在等边△ABC中取点P，使得PA，PB，PC的长分别为3，4，5，将线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60°到线段AD，连接BD，下列结论：
①△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到；②点P与点D的距离为3；③∠APB=150°；④．
其中正确的结论有

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

C
分析：①由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS证得△ADP≌△APC，即△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到；
②连接PD．根据①中的旋转的性质知△APD是等边三角形；
③利用勾股定理的逆定理可得△PBD为直角三角形，且∠BPD=90°，则∠APB=∠APD+∠BPD=60°+90°=150°；
④由△ADB≌△APC得S_△ADB=S_△APC，则有S_△APC+S_△APB=S_△ADB+S_△APB=S_△ADP+S_△BPD，根据等边三角形的面积为边长平方的倍和直角三角形的面积公式即可得到S_△ADP+S_△BPD=×2²+×3×4=6+
解答：连PD，如图，
∵线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AD，
∴AD=AP，∠DAP=60°，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∴∠DAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP，
∴∠DAP=∠PAC，
∴△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到，所以①正确；
∵DA=PA，∠DAP=60°，
∴△ADP为等边三角形，
∴PD=PA=3，所以②正确；
在△PBD中，PB=4，PD=3，由①得到BD=PC=5，
∵3²+4²=5²，即PD²+PB²=BD²，
∴△PBD为直角三角形，且∠BPD=90°，
由②得∠APD=60°，
∴∠APB=∠APD+∠BPD=60°+90°=150°，所以③正确；
∵△ADB≌△APC，
∴S_△ADB=S_△APC，
∴S_△APC+S_△APB=S_△ADB+S_△APB=S_△ADP+S_△BPD=×2²+×3×4=6+，所以④不正确．
故选C．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角线段，对应线段线段；对应点的连线段所夹的角等于旋转角；对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理．