Question

如图，△ABC中，NM是BC边的垂直平分线，垂足为G．
（1）作∠CAB的平分线AP；（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设AP，MN交于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，求证：BE=CF．

Answer 1

（1）解：如图所示，AP即为所求；

（2）证明：连接BD、CD，
∵AP是∠BAC的平分线，
∴DE=DF，
∵NM是BC边的垂直平分线，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF．
分析：（1）根据角平分线的作法作出AP即可；
（2）连接BD、CD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BD=CD，然后利用“HL”证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的作法，熟记各性质是解题的关键．