题目内容

对于代数式“
a-1
a+1
-
a
a2+2a+1
÷
1
2a+2
”，小明、小颖把a分别用
2
和1-
2
代入计算，两人的计算都正确，得到的答案也相同．你能解释其中的道理吗？
分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据原式化简结果为定值进行解答即可．
解答：解：∵原式=
a-1
a+1
-
a
(a+1)2
×2（a+1）
=
a-1
a+1
-
2a
a+1

=
-1-a
a+1

=-1．
∴无论a=
2
还是a=1-
2
原式的值都不会改变．
点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
练习册系列答案
相关题目
（1）“三等分角”是数学史上一个著名问题，但数学家已经证明，仅用尺规不可能“三等分任意角”．但对于特定度数的已知角，如90°角、45°角等，是可以用尺规进行三等分的．如图a，∠AOB=90°，我们在边OB上取一点C，用尺规以OC为一边向∠AOB内部作等边△OCD，作射线OD，再用尺规作出∠DOB的角平分线OE，则射线OD、OE将∠AOB三等分．仔细体会一下其中的道理，然后用尺规把图b中的∠MON三等分（已知∠MON=45°）．（不需写作法，但需保留作图痕迹，允许适当添加文字的说明）
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（2）数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法（如图c）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y=
1
x
的图象交于点P，以P为圆心、2OP长为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=
1
3
∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
①设P（a，
1
a
）、R（b，
1
b
），求直线OM对应的函数关系式（用含a、b的代数式表示）．
②分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=
1
3
∠AOB．
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已知关于x的方程x2-2（k+1）x+k2+2k-
5
4
=0 ①．
（1）求证：对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根；
（2）如果a是关于y的方程y2-(x1-k-
1
2
)y+（x1-k）（x2-k）+
1
4
=0 ②的根，其中x1、x2为方程①的两个实数根，且x1＜x2，求代数式(
1
a
-
a
a+1
)÷
4
a+1
•(a2-1)的值．
已知关于x的方程x2-2（k+1）x+k2+2k-
5
4
=0 ①．
（1）求证：对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根；
（2）如果a是关于y的方程y2-(x1-k-
1
2
)y+（x1-k）（x2-k）+
1
4
=0 ②的根，其中x1、x2为方程①的两个实数根，且x1＜x2，求代数式(
1
a
-
a
a+1
)÷
4
a+1
•(a2-1)的值．

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