Question

【题目】已知如图，抛物线y=x2+x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，直线BE⊥BC与点B，与抛物线的另一交点为E．

（1）如图1，求点E的坐标；

（2）如图2，若点P为x轴下方抛物线上一动点，过P作PG⊥BE与点G，当PG长度最大时，在直线BE上找一点M，使得△APM的周长最小，并求出周长的最小值．

（3）如图3，将△BOC在射线BE上，设平移后的三角形为△B′O′C′，B′在射线BE上，若直线B′C′分别与x轴、抛物线的对称轴交于点R、T，当△O′RT为等腰三角形时，求R的坐标．

Answer 1

【答案】（1）E（﹣4，）；（2）；（3）R（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．

【解析】

（1）求出直线BE的解析式，利用方程组求出交点E坐标；

（2）如图2中，作PK∥OC交BE于K．因为∠PKB是定值=60°，推出当PK的值最大时，PG的值最大，设P（m，m2+m﹣），则K（m，﹣m+），可得PK=﹣m2﹣m+，可知当m=﹣时，PK的值最大，此时P（﹣，﹣）．如图2﹣1中，作A关于BE的对称点A′，连接PA′交BE于M，连接AM、AP，此时△PAM的周长最小；

（3）如图3中，设BB′=m，则BR=2m，R（1﹣2m，0），O′（﹣m， m），分三种情形①当O′T=RT时；②当O′T=O′R时；③当RT=RO′时，分别构建方程即可解决问题.

（1）∵抛物线y=x2+x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，

令y=0，得到x2+x﹣=0，解得x=﹣3或1，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

令x=0，得到y=﹣，

∴C（0，﹣），

∴直线BC的解析式为y=x﹣，

∵BE⊥BC，

∴直线BE的解析式为y=﹣x+，

由，解得或，

∴E（﹣4，）；

（2）如图2中，作PK∥OC交BE于K．

∵∠PKB是定值=60°，

∴当PK的值最大时，PG的值最大，设P（m， m2+m﹣），则K（m，﹣m+），

∴PK=﹣m2﹣m+，

∵﹣＜0，

∴当m=﹣时，PK的值最大，此时P（﹣，﹣）．

如图2﹣1中，作A关于BE的对称点A′，连接PA′交BE于M，连接AM、AP，此时△PAM的周长最小，

∵A（﹣3，0），可得A′（﹣1，2），

∴△PAM的周长的最小值=PM+MA+PA=PA+PM+MA′=PA+PA′=+=；

（3）如图3中，设BB′=m，则BR=2m，R（1﹣2m，0），O′（﹣m，m），

设直线BB′的解析式为y=x+b，把R（1﹣2m，0）代入，得到b=（2m﹣1），

∴直线B′C′的解析式为y=x+（2m﹣1），

∴T（﹣1，2m﹣2），

∴O′R2=（m﹣1）2+（m）2，O′T2=（1﹣m）2+（2﹣m）2，RT2=（2﹣2m）2+（2﹣2m）2，

①当O′T=RT时，（1﹣m）2+（2﹣m）2=（2﹣2m）2+（2﹣2m）2，

整理得：7m2﹣11m+3=0，

解得m=，

∴R（，0）或（，0）．

②当O′T=O′R时，（m﹣1）2+（m）2=（1﹣m）2+（2﹣m）2，

整理得：2m2﹣5m+6=0，

△＜0无解．

③当RT=RO′时，（m﹣1）2+（m）2=（2﹣2m）2+（2﹣2m）2，

整理得15m2﹣31m+15=0

解得m=，

∴R（，0）或（，0）．