Question

（2010•温州一模）如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B₂D₁C₁的面积为S₁，△B₃D₂C₂的面积为S₂，…，△B_n+1D_nC_n的面积为S_n，则S₂=    ；S_n=    ．（用含n的式子表示）

Answer 1

【答案】分析：由三角形的相似性可求得S₂、S₃、S₄的值，则Sn的值也可用含n的式子表示出来．
解答：解：由于各三角形为等边三角形，且各边长为2，过各三角形的顶点B₁、B₂、B₃…向对边作垂线，垂足为M₁、M₂、M₃，
∵△AB₁C₁是等边三角形，
∴AD₁=AC₁•sin60°=2×=，
∵△B₁C₁B₂也是等边三角形，
∴C₁B₁是∠AC₁B₂的角平分线，
∴AD₁=B₂D₁=，
故S₁=S_△B2C1A-S_△AC1D1=×2×-×2×=；
S₂=S_△B3C2A-S_△AC2D2=×4×-×4×=；
作AB∥B₁C₁，使AB=AB₁，连接BB₁，则B₂，B₃，…B_n在一条直线上．
∵B_n C_n∥AB，
∴==，
∴B_nD_n=•AD=，
则D_nC_n=2-BnDn=2-=．
△B_nC_nB_n+1是边长是2的等边三角形，因而面积是：．
△B_n+1D_nC_n面积为S_n=•=•=．
即第n个图形的面积Sn=．
点评：本题考查了相似三角形的性质，题目新颖，同学们要好好掌握．