题目内容
已知：如图①，在?ABCD中，O为对角线BD的中点．过O的直线MN交直线AB于点M，交直线CD于点N；过O的另一条直线PQ交直线AD于点P，交直线BC于点Q，连接PN、MQ．
（1）试证明△PON与△QOM全等；
（2）若点O为直线BD上任意一点，其他条件不变，则△PON与△QOM又有怎样的关系？试就点O在图②所示的位置，画出图形，证明你的猜想；
（3）若点O为直线BD上任意一点（不与点B、D重合），设OD：OB=k，PN=x，MQ=y，则y与x之间的函数关系式为______．
（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO．
∵∠DOP=∠BOQ，DO=BO，
∴△DOP≌△BOQ．
∴PO=QO．
同理MO=NO．
∵∠PON=∠QOM，
∴△PON≌△QOM．
（2）解：画图．
△MOQ∽△NOP．
∵AP∥BQ，BM∥CN，
∴OD：OB=OP：OQ，OD：OB=ON：OM．
∴OP：OQ=ON：OM．
∴∠NOP=∠MOQ．
∴△MOQ∽△NOP．
（3）解：根据（2）和已知可以得到
，
∴y=
．
分析：（1）根据平行四边形的性质容易得到全等条件证明△DOP≌△BOQ，△PON≌△QOM，然后利用全等三角形的性质得到PO=QO，MO=NO，然后再证明△PON≌△QOM就可以解决问题；
（2）点O为直线BD上任意一点，则△MOQ∽△NOP．根据AP∥BQ，BM∥CN可以得到比例线段，而∠NOP=∠MOQ，可以证明△MOQ∽△NOP了；
（3）根据（2）和已知可以得到，根据这个等式可以求出y与x之间的函数关系式．
点评：此题综合性比较强，把全等三角形，相似三角形放在平行四边形的背景下，综合利用这些知识来解题．
∴∠PDO=∠QBO．
∵∠DOP=∠BOQ，DO=BO，
∴△DOP≌△BOQ．
∴PO=QO．
同理MO=NO．
∵∠PON=∠QOM，
∴△PON≌△QOM．
（2）解：画图．
△MOQ∽△NOP．
∵AP∥BQ，BM∥CN，
∴OD：OB=OP：OQ，OD：OB=ON：OM．
∴OP：OQ=ON：OM．
∴∠NOP=∠MOQ．
∴△MOQ∽△NOP．
（3）解：根据（2）和已知可以得到
，∴y=
．分析：（1）根据平行四边形的性质容易得到全等条件证明△DOP≌△BOQ，△PON≌△QOM，然后利用全等三角形的性质得到PO=QO，MO=NO，然后再证明△PON≌△QOM就可以解决问题；
（2）点O为直线BD上任意一点，则△MOQ∽△NOP．根据AP∥BQ，BM∥CN可以得到比例线段，而∠NOP=∠MOQ，可以证明△MOQ∽△NOP了；
（3）根据（2）和已知可以得到
，根据这个等式可以求出y与x之间的函数关系式．点评：此题综合性比较强，把全等三角形，相似三角形放在平行四边形的背景下，综合利用这些知识来解题．
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