Question

【题目】在中， ，点 (不与点重合)是线段上的一个动点，连接，以为边在的右侧作正方形，连接

（1）发现问题：如图（1），若，则与的位置关系_________；

（2）拓展探究：如图（2），若，（1）中的结论是否仍然成立?请说明理由；

（3）解决问题：若，设正方形的边与线段相交于点，请直接写出线段的最大值

Answer 1

【答案】（1）；（2）仍然成立，见解析；（3）1

【解析】

（1）由正切值可得∠ACB=45°，结合AB=AC，可知△ABC为等腰直角三角形，再利用正方形的性质可证明△BAD≌△CAF，进而得到∠ACF=45°，推出∠FCB=90°即可得证；

（2）过点作，交于点，同（1）可证CF⊥BD；

（3）过点作交的延长线于点，易证，设为，为，则，根据对应边成比例建立y与x的函数关系，即可求出CP的最大值．

解：（1） ∵

∵，

∴

∵四边形是正方形，

∴

∴，

∴，

在△BAD和△CAF中，

∵AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF

∴（SAS），

∴，

∴，

即．

（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：

如图(1)，过点作，交于点，则．

∵，

∴．

∴，

∴

∵四边形是正方形，

∴，

∴，

∴，

在△GAD和△CAF中，

∵AG=AC，∠GAD=∠CAF，AD=AF

∴（SAS），

∴，

∴，即．

∴（1）中的结论仍然成立．

（3）线段的最大值为1．

如图(2)，过点作交的延长线于点．

∵

∴．

设为，为，则．

由（2）知， ，

∵∠ADE=90°

∴∠ADQ+∠CDP=90°

∵∠DPC+∠CDP=90°

∴∠ADQ=∠DPC

又∵∠AQD=∠DCP=90°，

∴，

∴，即，

∴，

∴当时， 有最大值1，

即线段的最大值为1．