题目内容
（2013•如皋市模拟）如图，抛物线与x轴相交于B，C两点，与y轴相交于点A，P（2a，-4a2+7a+2）（a是实数）在抛物线上，直线y=kx+b经过A，B两点．（1）求直线AB的解析式；
（2）平行于y轴的直线x=2交直线AB于点D，交抛物线于点E．
①直线x=t（0≤t≤4）与直线AB相交F，与抛物线相交于点G．若FG：DE=3：4，求t的值；
②将抛物线向上平移m（m＞0）个单位，当EO平分∠AED时，求m的值．
分析：（1）根据点P的坐标，可得出抛物线解析式，然后求出A、B、C的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式；
（2）①根据点E（2，5），D（2，1），G（t，-t2+
t+2），F（t，-
t+2），表示出DE、FG，再由FG：DE=3：4，可得出t的值；
②设点A（0，2+m），则点E（2，5+m），作AH⊥DE，垂足为H，在Rt△AEH中利用勾股定理求出AE，根据EO平分∠AED及平行线的性质可推出∠AEO=∠AOE，AO=AE，继而可得出m的值．
（2）①根据点E（2，5），D（2，1），G（t，-t2+
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②设点A（0，2+m），则点E（2，5+m），作AH⊥DE，垂足为H，在Rt△AEH中利用勾股定理求出AE，根据EO平分∠AED及平行线的性质可推出∠AEO=∠AOE，AO=AE，继而可得出m的值．
解答：
解：（1）∵P（2a，-4a2+7a+2）（a是实数）在抛物线上，
∴抛物线的解析式为y=-4a2+7a+2=-4×（
）2+7×
+2=-x2+
x+2，
当y=0时，即-x2+
x+2=0，
解得x1=-
，x2=4，
当x=0时，y=2．
∴A（0，2），B（4，0），C（-
，0），
将点A、B的坐标代入y=kx+b，得：
解得：
，
故直线AB的解析式为y=-
x+2．
（2）①∵点E（2，5），D（2，1），G（t，-t2+
t+2），F（t，-
t+2），
∴DE=4，FG=-t2+
t+2-（-
t+2）=-t2+4t，
∵FG：DE=3：4，
∴-t2+4t=3，
解得t1=1，t2=3．
②设点A（0，2+m），则点E（2，5+m），
作AH⊥DE，垂足为H，
∴AE2=AH2+HE2=22+（5+m-2-m）2=13，即AE=
，
∵EO平分∠AED，
∴∠AEO=∠DEO，
∵AO∥ED，
∴∠DEO=∠AOE，
∴∠AEO=∠AOE，
∴AO=AE，即2+m=
，
解得m=
-2．
解：（1）∵P（2a，-4a2+7a+2）（a是实数）在抛物线上，∴抛物线的解析式为y=-4a2+7a+2=-4×（
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当y=0时，即-x2+
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解得x1=-
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当x=0时，y=2．
∴A（0，2），B（4，0），C（-
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将点A、B的坐标代入y=kx+b，得：
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解得：
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故直线AB的解析式为y=-
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（2）①∵点E（2，5），D（2，1），G（t，-t2+
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∴DE=4，FG=-t2+
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∵FG：DE=3：4，
∴-t2+4t=3，
解得t1=1，t2=3．
②设点A（0，2+m），则点E（2，5+m），
作AH⊥DE，垂足为H，
∴AE2=AH2+HE2=22+（5+m-2-m）2=13，即AE=
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∵EO平分∠AED，
∴∠AEO=∠DEO，
∵AO∥ED，
∴∠DEO=∠AOE，
∴∠AEO=∠AOE，
∴AO=AE，即2+m=
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解得m=
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点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、平行线的性质及等腰三角形的判定与性质，本题的突破口在于根据点P的坐标得出抛物线解析式，同学们注意培养自己解答综合题的能力，将所学知识融会贯通．
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