Question

（2013•内江）如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．

Answer 1

分析：（1）作AH⊥BC于H，根据勾股定理就可以求出AH，由三角形的面积公式就可以求出其值；
（2）如图1，当0＜x≤1.5时，由三角形的面积公式就可以表示出y与x之间的函数关系式，如图2，当1.5＜x＜3时，重叠部分的面积为梯形DMNE的面积，由梯形的面积公式就可以求出其关系式；
（3）如图4，根据（2）的结论可以求出y的最大值从而求出x的值，作FO⊥DE于O，连接MO，ME，求得∠DME=90°，就可以求出⊙O的直径，由圆的面积公式就可以求出其值．

解答：解：（1）如图3，作AH⊥BC于H，
∴∠AHB=90°．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=3．
∵∠AHB=90°，
∴BH=

1

2

BC=

3

2

在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AH=

3

2

3

．
∴S_△ABC=

3× 3 2 3

2

=

9

4

3

；

（2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S_△ADE．
作AG⊥DE于G，
∴∠AGD=90°，∠DAG=30°，
∴DG=

1

2

x，AG=

3

2

x，
∴y=

x× 3 2 x

2

=

3

4

x²，
∵a=

3

4

＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴x=1.5时，y_最大=

9 3

16

，
如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G，
∵AD=x，
∴BD=DM=3-x，
∴DG=

1

2

（3-x），MF=MN=2x-3，
∴MG=

3

2

（3-x），
∴y=

(2x-3+x) 3 2 (3-x)

2

，
=-

3

4

3

x2+3

3

x-

9

4

3

；

（3）如图4，∵y=-

3

4

3

x2+3

3

x-

9

4

3

；
∴y=-

3

4

3

（x²-4x）-

9

4

3

，
y=-

3

4

3

（x-2）²+

3

4

3

，
∵a=-

3

4

3

＜0，开口向下，
∴x=2时，y_最大=

3

4

3

，
∵

3

4

3

＞

9 3

16

，
∴y最大时，x=2，
∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME．
∴DO=OE=1，
∴DM=DO．
∵∠MDO=60°，
∴△MDO是等边三角形，
∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1．
∴MO=OE，∠MOE=120°，
∴∠OME=30°，
∴∠DME=90°，
∴DE是直径，
S_⊙O=π×1²=π．

点评：本题考查了等边三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，勾股定理的运用，圆周角定理的运用，圆的面积公式的运用，等边三角形的性质的运用，二次函数的性质的运用，解答时灵活运用等边三角形的性质是关键．