题目内容
如图，在△OBC中，点O为坐标原点，点C坐标为（4，0），点B坐标为（2，2| 3 |
P沿线段OH向点H运动，点Q沿线段AO向点O运动，速度都是每秒1个单位长度．设点P的运动时间为t秒．（1）求证：OB=CB；
（2）若△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式及定义域；
（3）当PQ⊥OB（垂足为点M）时，求五边形ABHPQ的面积的值．
分析：（1）根据勾股定理，易得OB=CB；
（2）由题意，∠BOH=∠HOC=30°，则可得∠AOB=30°，过点P作PE⊥OA垂足为点E，在Rt△PEO中，∠EPO=30°，PO=t，EO=
PO=
，由勾股定理可得PE=
t；OQ=AO-AQ=2
-t，即可求出函数关系式及定义域；
（3）由题意可得，Rt△OAB≌Rt△OHB≌Rt△OHC，△OPQ为等边三角形，所以，S四边形OABH=S△OBC=
×4×2
=4
，由OP=OQ，可得S△OPQ=
OP×
OP=
，面积差即为五边形ABHPQ的面积．
（2）由题意，∠BOH=∠HOC=30°，则可得∠AOB=30°，过点P作PE⊥OA垂足为点E，在Rt△PEO中，∠EPO=30°，PO=t，EO=
| 1 |
| 2 |
| t |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
（3）由题意可得，Rt△OAB≌Rt△OHB≌Rt△OHC，△OPQ为等边三角形，所以，S四边形OABH=S△OBC=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
3
| ||
| 4 |
解答：
解：（1）∵OB=
=4，
CB=
=4，
∴OB=CB；
（2）易证：△OBC为等边三角形，
∵OH⊥BC，
∴∠BOH=∠HOC=30°，
∴∠AOB=30°，
过点P作PE⊥OA垂足为点E，
在Rt△PEO中，∠EPO=30°，PO=t，
∴EO=
PO=
，由勾股定理得：PE=
t，
又∵OQ=AO-AQ=2
-t，
∴S=
OQ•PE=
（2
-t）•
t=
，
即：S=-
t2+
t（0＜t＜2
）．
（3）易证Rt△OAB≌Rt△OHB≌Rt△OHC，
∴S四边形OABH=S△OAB+S△OHB=S△OHB+S△OHC=S△OBC=
×4×2
=4
，
易证△OPQ为等边三角形，
∴OQ=OP，
即：2
-t=t，解得t=
，
∴S△OPQ=
OP×
OP=
，
∴S五边形ABHPQ=S四边形OABH-S△OPQ=4
-
=
．
解：（1）∵OB=22+(2
|
CB=
(2-4)2+(2
|
∴OB=CB；
（2）易证：△OBC为等边三角形，
∵OH⊥BC，
∴∠BOH=∠HOC=30°，
∴∠AOB=30°，
过点P作PE⊥OA垂足为点E，
在Rt△PEO中，∠EPO=30°，PO=t，
∴EO=
| 1 |
| 2 |
| t |
| 2 |
| ||
| 2 |
又∵OQ=AO-AQ=2
| 3 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| ||
| 2 |
6t-
| ||
| 4 |
即：S=-
| ||
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
（3）易证Rt△OAB≌Rt△OHB≌Rt△OHC，
∴S四边形OABH=S△OAB+S△OHB=S△OHB+S△OHC=S△OBC=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
易证△OPQ为等边三角形，
∴OQ=OP，
即：2
| 3 |
| 3 |
∴S△OPQ=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
3
| ||
| 4 |
∴S五边形ABHPQ=S四边形OABH-S△OPQ=4
| 3 |
3
| ||
| 4 |
| 13 |
| 4 |
| 3 |
点评：本题主要考查等边三角形、全等三角形的判定与性质和勾股定理，由已知判定三角形OPQ为等边三角形是解答本题的关键．
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