题目内容

如图，在平面直角坐标系中，以点M（ $数学公式$ ）为圆心，以 $数学公式$ 为半径的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点．抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若⊙M的切线交x轴正半轴于点P，交y轴负半轴于点Q，切点为N，且∠OPQ=30°，试判断直线PQ是否经过抛物线的顶点？说明理由；
（3）点K是⊙M位于y轴右侧上的一动点，连结KB交y轴于点H，问是否存在一个常数k．始终满足BH•BK=k？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．

解：（1）如图，连接MC．
∵M（ $\text{[math]}$ ），BM=AM=MC=2 $\text{[math]}$ ，
∴OC= $\text{[math]}$ =3，
∴A（3 $\text{[math]}$ ，0），B（- $\text{[math]}$ ，0），C（0，-3）．则
$\text{[math]}$ ，
解得， $\text{[math]}$ ，
∴该抛物线的解析式为：y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-3；

（2）直线PQ经过抛物线的顶点．理由如下：
由（1）知，抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-3，即y= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ -4，则其顶点坐标是（ $\text{[math]}$ ，-4）．
如图，连接MN，设直线PQ交抛物线对称轴于点G．
∵PQ是⊙M的切线，∴MN⊥PQ．
∴∠1=∠2=30°．
又∵MN=2 $\text{[math]}$
∴MG= $\text{[math]}$ =4，则G（ $\text{[math]}$ ，-4），即点G是抛物线的顶点坐标，
∴直线PQ经过抛物线的顶点；

（3）存在，理由如下：
如图，连接AK．
∵AB是直径，
∴∠AKB=∠BOH=90°，
又∵∠HBO=∠ABK，
∴△BOH∽△BKA，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则BH•BK=BO•BA= $\text{[math]}$ ×4 $\text{[math]}$ =12，即k=12．
分析：（1）易求得A（3 $\text{[math]}$ ，0），B（- $\text{[math]}$ ，0），C（0，-3）．把它们的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于a、b、c的三元一次方程组，通过解方程组即可求得它们的值；
（2）如图，连接MN，设直线PQ交抛物线对称轴于点G．
由（1）中的函数解析式转化为顶点式解析式，直接写出该抛物线的顶点坐标（ $\text{[math]}$ ，-2），然后通过解直角△MNG求得MG的长度，若MG=2，则说明该切线经过抛物线的顶点，反之，该切线不经过该抛物线的顶点；
（3）存在．如图，连接AK．构建相似三角形：△BOH∽△BKA，所以根据相似三角形的对应边成比例来求k的值．
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．