Question

如图1，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D．
（1）若∠A=40゜，则∠DBC=

20゜

；若∠A=50゜，则∠DBC=

25゜

；若∠A=α，则∠DBC=

1

2

α

；
（2）如图2，猜想：∠DBC与∠BAC之间的数量关系，并予以证明．

Answer 1

分析：（1）由AB=AC，BD⊥AC，可求得∠ABC与∠ABD的度数，继而求得∠DBC的度数；
（2）首先设∠C=β，由等腰三角形的性质，可求得∠BAC与∠DBC的值，继而求得：∠DBC与∠BAC之间的数量关系．

解答：解：（1）∵AB=AC，∠A=α，
∴∠ABC=∠C=

180°-∠A

2

=

180°-α

2

=90°-

1

2

α，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD=90°-α，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=

1

2

α；
当∠A=40゜时，∠DBC=20°；
当∠A=50°时，∠DBC=25°；
故答案为：20°，25°，

1

2

α；

（2）∠DBC=

1

2

∠BAC．
设∠C=β，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=β，
∴∠BAC=180°-2β，∠BAD=∠ABC+∠C=2β，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD=90°-2β，
∴∠DBC=90゜-β，
∴∠DBC=

1

2

∠BAC．

点评：此题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．