Question

【题目】如图，在ABC中，已知AB＝BC＝10，AC＝4，AD为边BC上的高线，P为边AD上一点，连结BP，E为线段BP上一点，过D、P、E三点的圆交边BC于F，连结EF．

（1）求AD的长；

（2）求证：△BEF∽△BDP；

（3）连结DE，若DP＝3，当△DEP为等腰三角形时，求BF的长；

（4）把△DEP沿着直线DP翻折得到△DGP，若G落在边AC上，且DG∥BP，记△APG、△PDG、△GDC的面积分别为S1、S2、S3，则S1：S2：S3的值为　 　．

Answer 1

【答案】（1）AD＝8，见解析；（2）△BEF∽△BDP，见解析；（3）BF的长为、、，见解析；（4）S1：S2：S3＝3：3：2，见解析.

【解析】

（1）设CD=x，则BD=10-x，在Rt△ABD和Rt△ACD中利用勾股定理列方程即可求出x，进而求出AD，
（2）由圆内接四边形性质可知∠BFE=∠BPD，即可证明△BEF∽△BDP
（3）因为DP=3，由②BP=3，可得分三种情况PE=DP、DE=PE、DP=DE利用直角三角形和等腰三角形性质先求出EB，再根据即可求解；

（4）连接EG交PD于M点，DG∥BP和折叠的性质可得∠EPD=∠EDF=∠PDG，EP=PG=ED=DG，即可得出E是BP中点，进而求出，由，即可求出PM=2，PD=4，AP=4，再利用三角形面积求法即可解答．

解：（1）设CD＝x，则BD＝10﹣x，

在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，

依题意得：，

解得x＝6，

∴AD＝＝8．

（2）∵四边形BFEP是圆内接四边形，

∴∠EFB＝∠DPB，

又∵∠FBE＝∠PDB，

∴△BEF∽△BDP．

（3）由（1）得BD＝6，

∵PD＝3，

∴BP＝＝，

∴cos∠PBD＝，

当△DEP为等腰三角形时，有三种情况：

Ⅰ．当PE＝DP＝3 时，BE＝BP﹣EP＝，

Ⅱ．当DE＝PE时，E是BP中点，BE＝，

Ⅲ．当DP＝DE＝3时，PE＝2×PDcos∠BPD＝＝，

若DP＝3，当△DEP为等腰三角形时，BF的长为、、．

（4）连接EG交PD于M点，

∵DG∥BP

∴∠EPD＝∠EDF＝∠PDG，

∴PG＝DG，

∵EP＝PG，ED＝DG，

∴四边形PEDG是菱形，

∴EM＝MG，PM＝DM，EG⊥AD，

又∵BD⊥AD，

∴EG∥BC，

∴EM＝BD＝3＝MG，，

∴，

∴AM＝6，

∴DM＝PM＝2，

∴PD＝4，AP＝4，

∴S△APG＝＝×4×3＝6，

S△PDG＝＝×4×3＝6，

S△GDC＝＝＝4．

∴S1：S2：S3＝6：6：2＝3：3：2．