题目内容
【题目】操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，设A、P两点间的距离为x．
探究：
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察到的结论；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应x的值；如果不可能，试说明理由．
【答案】（1）PQ=PB，证明过程见解析；（2）y=
（0≤x＜
）；（3）x＝0或1.
【解析】
试题分析：（1）过点P作MN∥BC，分别交AB、CD于点M、N，则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形，得出NP=NC=MB，从而证明△QNP≌△PMB，从而得出答案；（2）设AP=x，则M＝MP＝NQ＝DN＝
x，BM＝PN＝CN＝1－x，根据题意得出△PBC和△PCQ的面积，然后得出y与x的函数关系式；（3）本题分三种情况进行讨论，即①当点Q在边DC上；②当点Q在边DC的延长线上；③当点Q与C点重合.
试题解析：（1）过点P作MN∥BC，分别交AB、CD于点M、N，则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形（如图1），∴NP＝NC＝MB．
∵∠BPQ＝90°∴∠QPN＋∠BPM＝90°，而∠BPM＋∠PBM＝90°∴∠QPN＝∠PBM．
又∵∠QNP＝∠PMB＝90°∴△QNP≌△PMB（ASA），∴PQ＝PB．
（2）由（1）知△QNP≌△PMB，得NQ＝MP．
设AP＝x，∴AM＝MP＝NQ＝DN＝x，BM＝PN＝CN＝1－x
∴CQ＝CD－DQ＝1－2×x＝1－
x
∴S△PBC＝
BCBM＝
×1×（1－x）＝
－
x，
S△PCQ＝
CQPN＝
×（1－x）（1－x）＝
，
∴S四边形PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ＝， 即y＝（0≤x＜）．
（3）△PCQ可能成为等腰三角形．
①当点Q在边DC上，由
得：
解得x1＝0，x2＝
（舍去）；
②当点Q在边DC的延长线上（如图2），由PC＝CQ得：－x＝x－1，
解得x＝1．
③当点Q与C点重合，△PCQ不存在．
综上所述，x＝0或1时，△PCQ为等腰三角形
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