题目内容

我市某旗在棚户区改造工程中需要修建一段东西方向全长2000米的道路（记作AB）．已知C点周围700米范围内有一电力设施区域．在A处测得C在A的北偏东60°方向上，在B处测得C在B的北偏西45°方向上．（ $数学公式$ ≈1.732， $数学公式$ ≈1.414）
（1）道路AB是否穿过电力设施区域？为什么？
（2）在施工500米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，加快了施工进度，实际工作效率变成了原计划工作效率的1.5倍，结果提前5天完成了修路任务，则原计划每天修路多少米？

解：（1）道路AB不穿过电力设施区域．
过点C作CD⊥AB于点D，
设CD=x米，
由题意得：∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-45°=45°，
在Rt△ACD中，AD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x（米），
在Rt△BCD中，BD=CD=x（米），
∵AB=2000米，
∴ $\text{[math]}$ x+x=2000，
解得：x=1000 $\text{[math]}$ -1000≈732，
∵732米＞700米，
∴道路AB不穿过电力设施区域；

（2）设原计划每天修路y米，
$\text{[math]}$ -5= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
解得：y=100，
经检验，y=100是原分式方程的解．
答：原计划每天修路100米．
分析：（1）首先过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x米，然后利用三角函数，即可表示出AD与BD的长，继而可得方程 $\text{[math]}$ x+x=2000，解此方程即可求得CD的长，与700米比较，即可得道路AB不穿过电力设施区域；
（2）首先设原计划每天修路y米，根据题意即可得分式方程： $\text{[math]}$ -5= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，解此分式方程即可求得答案．
点评：此题考查了方向角问题与分式方程的应用．此题难度适中，注意构造直角三角形并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．