Question

直线y=-

3

4

x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点匀速出发，同时到达A点，到达A时运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．
（1）直接写出A、B两点的坐标；求点P的速度．
（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；
（3）当s=

48

5

时，求出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2；
（2）①当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t²；
②当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得PD=

48-6t

5

，利用S=

1

2

OQ×PD，即可求出答案；
（3）令S=

48

5

，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标．

解答：解：（1）∵直线y=-

3

4

x+6与坐标轴分别交于A、B两点，
∴当y=0时，x=8，即A（8，0）．
当x=0时，y=6，即B（0，6）．
∴在Rt△AOB中，OA=8，OB=6，则由勾股定理知AB=

OA2+OB2

=

82+62

=10．
∵动点P、Q同时从O点匀速出发，同时到达A点，到达A时运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动
∴点P的速度=

OB+AB

OA 1

=

6+10

8

=2，即点P的速度是每秒2个单位长度；
（2）①当P在线段OB上运动（或O≤t≤3）时，
OQ=t，OP=2t，S=

1

2

OP•OQ=

1

2

×2t×t=t²．
②当P在线段BA上运动（3＜t≤8）时，
OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，
如图，过点P作PD⊥OA于点D，则PD∥OB，
∴

PD

OB

=

AP

AB

，得PD=

48-6t

5

，
∴S=

1

2

OQ×PD=-

3

5

t²+

24

5

t．
综上所述，S与t之间的函数关系式是：S=

t2(0≤t≤3) - 3 5 t2+ 24 5 t(3＜t≤8)

；

（3）∵

48

5

＞

1

2

×3×6，
∴当S=

48

5

时，点P在线段AB上．
∴-

3

5

t²+

24

5

t=

48

5

（3＜t≤8），解得，t=4．
∴PD=

48-6×4

5

=

24

5

，AP=16-2×4=8，AD=

AP2-PD2

=

32

5

，
∴OD=OA-AD=8-

32

5

=

8

5

，
∴点P的坐标是（

8

5

，

24

5

）．

点评：本题主要考查了勾股定理，平行线分线段成比例以及一次函数的综合应用，要注意的是（2）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．