Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．

（1）如图1，若∠BAC=100°，则∠ABD的度数为_____，∠BDF的度数为______；

（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN，若BN=DN，∠ACB=．

(I)用表示∠BAD；

(II)①求证：∠ABN=30°；

②直接写出的度数以及△BMN的形状．

Answer 1

【答案】(1)10°，20°；（2）（Ⅰ）；(II)①证明见解析；②=40°，△BMN等腰三角形．

【解析】

（1）由等边三角形的性质可得AD=AC，∠CAD=60°，利用等量代换可得AD=AB，根据等腰三角形的性质即可求出∠ABD的度数，由等腰三角形“三线合一”的性质可得∠ADE=30°，进而可求出∠BDF的度数；

（2）（Ⅰ）根据等腰三角形的性质可用表示出∠BAC，由∠CAD=60°即可表示出∠BAD；

（Ⅱ）①如图，连接AN，由角平分线的定义可得∠CAN=，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得DN是AC的垂直平分线，可得AN=CN，∠CAN=∠CAN，即可求出∠DAN=+60°，由（Ⅰ）可知∠BAD=240°-2，由△ABN≌△AND可得∠BAN=∠DAN，可得∠BAN=120°+，列方程即可求出的值，利用外角性质可求出∠ANM的度数，根据三角形内角和可求出∠AMN的度数，利用外角性质可求出∠MNB的度数，可得∠BMN=∠ABN，可证明△BMN是等腰三角形．

（1）∵△ACD是等边三角形，

∴AD=AC=CD，∠CAD=∠ADC=60°，

∵AB=AC，

∴AD=AB，

∵∠BAC=100°，

∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=160°，

∴∠ABD=∠ADB=（180°-∠BAD）=10°，

∵点E为AC中点，

∴ ∠ADE=∠CDE=30°，

∴∠BDF=∠ADE-∠ADB=20°，

故答案为：10°，20°

（2）（Ⅰ）∵AB=AC，∠ACB=，

∴∠ABC=∠ACB=，

∴，

∵△ACD为等边三角形，

∴∠CAD=60°，

∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=240°+．

(II)①如图，连接，

∵△ACD为等边三角形，

∴，

在△ABN和△AND中，，

∴△ABN≌△AND，

∴∠ABN=∠ADN，

∵点E的中点，

∴DF⊥AC，ED平分∠ADC，

∴∠ADE=30°，

∴∠ABN=∠ADE=30°．

②∵CM平分∠ACB，∠ACB=，

∴∠CAM=∠BCM=，

∵点E是AC的中点，△ACD是等边三角形，

∴DN是AC的垂直平分线，

∴AN=CN，

∴∠CAN=∠ACM=，

∴∠DAN=∠CAD+∠CAN=60°+，

∵△ABN≌△AND，

∴∠BAN=∠DAN=60°+，

∴∠BAN=2∠BAN=120°+，

由（Ⅰ）得：∠BAD=240°-2，

∴120°+=240°-2，

解得：=40°，

∴∠BAN=60°+=80°，∠ANM=∠NAC+∠NCA==40°，

∴∠AMC=180°-∠BAN-∠ANM=60°，

∵∠ABN=30°，

∴∠MNB=∠AMC-∠ABN=30°，

∴∠ABN=∠MNB，

∴MB=MN，

∴是等腰三角形．