Question

如图（1），△ABC是等边三角形，DE是中位线，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE，EF．
（1）求证：BE=EF；
（2）若将DE从中位线的位置向上平移，使点D，E分别在线段AB，AC上（点E与点A不重合），其他条件不变，如图（2），则（1）题中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=CA，
∵DE是中位线，
∴E是AC的中点，
∴BE平分∠ABC，AE=EC，
∴∠EBC=∠ABC=30°
∵AE=CF，
∴CE=CF，
∴∠CEF=∠F．
∵∠CEF+∠F=∠ACB=60°，
∴∠F=30°，
∴∠EBC=∠F
∴BE=EF；

（2）结论任然成立．
∵DE是由中位线平移所得，
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC=60°，
∠AED=∠ACB=60°．
∴△ADE是等边三角形．
∴DE=AD=AE，
∵AB=AC，
∴BD=CE，
∵AE=CF，
∴DE=DF，
∵∠BDE=180°-∠ADE=120°，
∠FCE=180-∠ACB=120°，
∴∠FCE=∠EDB，
∴△BDE≌△ECF，
∴BE=EF．
分析：（1）利用等边三角形的性质以及三线合一证明得出结论；
（2）由中位线的性质、平行线的性质，等边三角形的性质以及三角形全等的判定与性质证明．
点评：此题考查等边三角形以及三角形全等的判定与性质等知识点．