题目内容

在平面直角坐标系中，给定以下五点A（-2，0）、B（1，0）、C（4，0）、D（-2，6）、E（0，-6），从五点中选取三点，使经过这三点的抛物线满足以平行于y轴的直线为对称轴．我们约定：把过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB（如图所示）．
（1）问符合条件的抛物线还有哪几条？不求解析式，请用约定的方法一一表示出来．
（2）在（1）中是否存在这样的一条抛物线，它与余下的两点所确定的直线不相交？如果存在，试求出抛物线及直线的解析式；如果不存在，请说明理由．
．

解：（1）符合条件的抛物线还有5条，
分别是抛物线AEC；抛物线CBE；抛物线DEB；抛物线DEC；抛物线DBC．

（2）在（1）中存在抛物线DBC，它与直线AE不相交．
理由：设抛物线DBC的解析式为y=ax²+bx+c，
将D（-2，6）、B（1，0）、C（4，0）三点坐标分别代入，
得 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
故抛物线DBC的解析式为 $\text{[math]}$ ，
又设直线AE的解析式为y=mx+n，
将A（-2，0），E（0，-6）两点坐标分别代入得 $\text{[math]}$ ，
解得m=-3，n=-6，
所以直线AE的解析式为y=-3x-6．
∵当 $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ =-3x-6，
∴当 $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ =0，
∵△=b²-4ac= $\text{[math]}$ -4× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =-8＜0，
∴此方程没有实数根，即两函数没有交点．
分析：（1）根据从五点中选取三点，使经过这三点的抛物线满足以平行于y轴的直线为对称轴，利用坐标系即可得出答案；
（2）将D（-2，6）、B（1，0）、C（4，0）三点坐标分别代入，得出二次函数解析式进而求出直线AE的解析式为y=mx+n，再利用两函数解析式联立后无实数根得出答案即可．
点评：此题主要考查了二次函数综合题以及待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，利用方程与函数之间的联系得出方程的根的情况是解决问题的关键．