Question

4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分…如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（　　）

• A． 2004
• B． 2005
• C． 2006
• D． 2007

Answer 1

分析 根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k次后，可得（k+1）个多边形，这些多边形的内角和为（k+1）×360°．因为这（k+1）个多边形中有34个六十二边形，可求它们的内角和，其余多边形有（k+1）-34=k-33（个），而这些多边形的内角和不少于（k-33）×180°．可得方程（k+1）×360°≥34×60×180°+（k-33）×180°，求得k≥2005．当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．从而求解．

解答 解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．
于是，剪过k次后，可得（k+1）个多边形，这些多边形的内角和为（k+1）×360°．
因为这（k+1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×（62-2）×180°=34×60×180°，
其余多边形有（k+1）-34=k-33（个），而这些多边形的内角和不少于（k-33）×180°．
所以（k+1）×360°≥34×60×180°+（k-33）×180°，
解得k≥2005．
当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．
于是共剪了58+33+33×58=2005（刀）．
故至少要剪的刀数是2005刀．
故选：B．

点评 此题考查了三角形边角关系，关键是理解用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k次后，可得（k+1）个多边形，这些多边形的内角和为（k+1）×360°．因为这（k+1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×（62-2）×180°=34×60×180°，其余多边形有（k+1）-34=k-33（个），而这些多边形的内角和不少于（k-33）×180°．