题目内容

如图，在平面直角坐标系中，点A、B在坐标轴上，且AO=4，AB=8，∠ABO=30°．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒1个单位的速度运动，设动点P运动时间为t秒．在x轴上取两点M、N，使△PMN为等边三角形．
（1）直接写出A点的坐标；
（2）如图1，当等边△PMN的顶点M与原点O重合时，求PM的长；
（3）设等边△PMN的边长为a（如图2），当1≤t≤5时，求y=a2-
13
t2的最大值和最小值．
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分析：（1）直接写出A坐标即可；
（2）求出△APO∽△AOB，得到比例式，代入求出即可；
（3）证BN=PN=MN=a，证△MPB∽△AOB，得到比例式，求出a=
8
3
3
-
3
3
t，代入y求出y=-
16
3
t+
64
3
，根据一次函数的性质求出即可．
解答：解：（1）A点的坐标是（0，4）．

（2）在△AOB中，AB=8，AO=4，由勾股定理得：BO=4
3
，
∵∠ABO=30°，∠AOB=90°，
∴∠OAB=180°-90°-30°=60°，
∵等边三角形PMN，
∴∠PMN=60°，
∴∠AOP=90°-60°=30°，
∴∠APM=180°-∠BAO-∠AOP=90°=∠AOB，
∵∠OAB=∠OAB，
∴△APO∽△AOB，
∴
PM
OB
=
OA
AB
，
PM
4
3
=
4
8
，
∴PM=2
3
，
答：PM的长是2
3
．

（3）∵等边三角形PMN，
∴PM=MN=PN，∠PNM=∠PMN=60°，
∵∠ABO=30°，
∴∠NPB=60°-30°=30°=∠ABO，
∴PN=BN=MN=a，
∵∠PMN=60°=∠OAB，∠ABO=∠ABO，
∴△MPB∽△AOB，
∴
BP
OB
=
BM
AB
，
即
8-t
4
3
=
a+a
8
，
解得：a=
8
3
3
-
3
3
t，
∴y=a2-
1
3
t2=(
8
3
3
-
3
t
3
)2-
1
3
t2=-
16
3
t+
64
3
，
∵k=-
16
3
＜0，
∴y随t的增大而减小，
∵1≤t≤5，
∴当t=1时，y的最大值是：y=-
16
3
×1+
64
3
=16；
当t=5时，y的最小值是：y=-
16
3
×5+
64
3
=-
16
3
；
答：当1≤t≤5时，求y=a2-
1
3
t2的最大值和最小值分别是16，-
16
3
．
点评：本题主要考查对一次函数的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，二次函数的最值，等腰三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键．
练习册系列答案
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BD
AB
=
5
8
，求这时点P的坐标．
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5
29
5
29
．
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5
5
．
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k
x
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k
x
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