Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD·BC＝AC·CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB，BC分别交于点F，G．

（1）求证：AC是⊙E的切线；

（2）若AF＝4，CG＝5，

①求⊙E的半径；

②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE＝ ．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①⊙E的半径为20；②IE＝

【解析】试题分析：（1）证明△CDE∽△CAB，得∠EDC=∠A=90°，所以AC是⊙E的切线；

（2）①如图1，作辅助线，构建矩形AHED，设⊙E的半径为r，表示BH和EC的长，证明△BHE∽△EDC，

列比例式代入r可得结论；

②如图2，作辅助线，构建直角△IME，分别求IM和ME的值，利用勾股定理可求IE的长．

试题解析：（1）∵CDBC=ACCE，

∴，

∵∠DCE=∠ACB，

∴△CDE∽△CAB，

∴∠EDC=∠A=90°，

∴ED⊥AC，

∵点D在⊙E上，

∴AC是⊙E的切线；

（2）①如图1，过E作EH⊥AB于H，

∴BH=FH，

∵∠A=∠AHE=∠ADE=90°，

∴四边形AHED是矩形，

∴ED=AH，ED∥AB，

∴∠B=∠DEC，

设⊙E的半径为r，则EB=ED=EG=r，

∴BH=FH=AH-AF=DE-AF=r-4，

EC=EG+CG=r+5，

在△BHE和△EDC中，

∵∠B=∠DEC，∠BHE=∠EDC=90°，

∴△BHE∽△EDC，

∴，即，

∴r=20，

∴⊙E的半径为20；

②如图2，过I作IM⊥BC于M，过I作IH⊥AB于H，

由①得：FH=BH=r-4=20-4=16，AB=AF+2BH=4+2×16=36，

BC=2r+5=2×20+5=45，

∴AC==27，

∵I是Rt△ABC的内心，

∴IM==9，

∴AH=IM=9，

∴BH=BM=36-9=27，

∴EM=27-20=7，

在Rt△IME中，由勾股定理得：IE=．