Question

（2012•南湖区二模）如图，点O在Rt△ABC的斜边AB上，以O为圆心，OA长为半径的⊙O切BC于点D，且分别交AC、AB于点E、F，若AC=6，BC=6

3

．
（1）求⊙O的半径；
（2）求弓形EDF的面积．

Answer 1

分析：（1）连结OD，设⊙O的半径为R，根据切线的性质得OD⊥BC，再利用勾股定理计算出AB=12，则由含30度的直角三角形三边的关系得∠B=30°，所以OB=2R，AB=3R=12，解得R=4；
（2）连结OE，OD交EF于H，根据圆周角定理得∠AEF=90°，则EF∥BC，根据平行线的性质得∠EFA=∠B=30°，OD⊥EF，根据垂径定理得EH=FH，∠EOF=120°，在Rt△OHF中，可计算出OH=2，HF=2

3

，则EF=4

3

，然后利用弓形EDF的面积=S_扇形OEF-S_△OEF和扇形的面积公式进行计算．

解答：解：（1）连结OD，设⊙O的半径为R，如图，
∵⊙O切BC于点D，
∴OD⊥BC，
在Rt△ABC，AC=6，BC=6

3

，
∴AB=

AC2+BC2

=12，
∴∠B=30°，
在Rt△OBD中，OB=2OD=2R，
而AB=OA+OB=R+2R=3R，
∴3R=12，
∴R=4，
即⊙O的半径为4；

（2）连结OE，OD交EF于H，如图，
∵AF为⊙的直径，
∴∠AEF=90°，
而∠C=90°，
∴EF∥BC，
∴∠EFA=∠B=30°，OD⊥EF，
∴EH=FH，∠EOF=120°，
在Rt△OHF中，OF=4，OH=

1

2

OF=2，HF=

3

OH=2

3

，
∴EF=2HF=4

3

，
∴弓形EDF的面积=S_扇形OEF-S_△OEF
=

120•π•42

360

-

1

2

•4

3

•2
=

16π

3

-4

3

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、含30度的直角三角形三边的关系和扇形面积的计算．