Question

在平面直角坐标xOy中，（如图）正方形OABC的边长为4，边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，点D是OC的中点，BE⊥DB交x轴于点E．
（1）求经过点D、B、E的抛物线的解析式；
（2）将∠DBE绕点B旋转一定的角度后，边BE交线段OA于点F，边BD交y轴于点G，交（1）中的抛物线于M（不与点B重合），如果点M的横坐标为，那么结论OF=DG能成立吗？请说明理由；
（3）过（2）中的点F的直线交射线CB于点P，交（1）中的抛物线在第一象限的部分于点Q，且使△PFE为等腰三角形，求Q点的坐标．

Answer 1

解：（1）∵BE⊥DB交x轴于点E， OABC是正方形， ∴∠DBC=EBA． 在△BCD与△BAE中， ∵， ∴△BCD≌△BAE， ∴AE=CD． ∵OABC是正方形，OA=4，D是OC的中点， ∴A（4，0），B（4，4），C（0，4）， D（0，2）， ∴E（6，0）． 设过点D（0，2），B（4，4），E（6，0）的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，则有：，解得， ∴经过点D、B、E的抛物线的解析式为： y=x2+x+2； （2）结论OF=DG能成立．理由如下： 由题意，当∠DBE绕点B旋转一定的角度后，同理可证得△BCG≌△BAF， ∴AF=CG． ∵xM=， ∴yM=xM2+xM+2=， ∴M（，）． 设直线MB的解析式为yMB=kx+b， ∵M（，），B（4，4）， ∴，解得， ∴yMB=x+6， ∴G（0，6）， ∴CG=2，DG=4． ∴AF=CG=2，OF=OA﹣AF=2，F（2，0）． ∵OF=2，DG=4， ∴结论OF=DG成立； （3）如图，△PFE为等腰三角形， 可能有三种情况，分类讨论如下： ①若PF=FE． ∵FE=4，BC与OA平行线之间距离为4， ∴此时P点位于射线CB上， ∵F（2，0）， ∴P（2，4），此时直线FP⊥x轴， ∴xQ=2， ∴yQ=xQ2+xQ+2=， ∴Q1（2，）； ②若PF=PE．如图所示， ∵AF=AE=2，BA?FE， ∴△BEF为等腰三角形， ∴此时点P、Q与点B重合， ∴Q2（4，4）； ③若PE=EF． ∵FE=4，BC与OA平行线之间距离为4， ∴此时P点位于射线CB上， ∵E（6，0）， ∴P（6，4）． 设直线yPF的解析式为yPF=kx+b， ∵F（2，0），P（6，4）， ∴，解得， ∴yPF=x﹣2． ∵Q点既在直线PF上，也在抛物线上， ∴x2+x+2=x﹣2， 化简得5x2﹣14x﹣48=0， 解得x1=，x2=﹣2（不合题意，舍去） ∴xQ=2， ∴yQ=xQ﹣2=﹣2=． ∴Q3（，）． 综上所述，Q点的坐标为Q1（2，）或 Q2（4，4）或Q3（，）．