Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，A(a，0)，B(0，b)其中a，b满足．点C为x轴正半轴上的一点，且点C在点A右侧，若点D为第一象限内一点，且满足CD⊥CB，．

(1)求A，B的坐标；

(2)如图1，点E为BD中点，连接OE，求证：；

(3)如图2，若点F、G是BA上的两个动点，且，求证：．

Answer 1

【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析

【解析】

（1）根据二次根式和平方的非负性可得，即可求出A，B的坐标；

（2）作与x轴交于点F，连接CE、EF，通过证明和，可得△EFO是等腰直角三角形，即可得证 ；

（3）将△BOF绕O点顺时针旋转90°得△AOH，旋转后点B与点A重合，点F对应点H，连接HG，根据旋转的性质得，再通过证明，可得，根据勾股定理得，即可得证．

（1）∵a，b满足

∴

解得

∴；

（2）作与x轴交于点F，连接CE、EF

∵，

∴，△BCD是等腰直角三角形

∴

∵

∴

∴

在△span>BOC和△CFD中

∴

∴，

∵点E为BD中点

∴，

∴

∴

∴

在△BOE和△CFE中

∴

∴，

∵

∴

∴△EFO是等腰直角三角形

∴ ；

（3）将△BOF绕O点顺时针旋转90°得△AOH，旋转后点B与点A重合，点F对应点H，连接HG

根据旋转的性质得

，，，

∵

∴

∵

∴

∴

∴

∴

在△FOG和△HOG中

∴

∴

在Rt△GAH中

∴．