Question

【题目】如图①，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向点A移动，同时点Q从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向点B移动，当点P与点A重合时移动停止．设点P移动的时间为t秒．

（1）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；

（2）当t＝1时，抛物线y＝x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图②所示，该抛物线上是否存在点D，使∠MQD＝∠MKQ？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝或t＝；（2）或．

【解析】

（1）分△QBC∽△PAQ、△CBQ∽△PAQ，两种情况分别求解；

（2）先证明∠MKE＝∠QKE＝∠MKQ，分①当点D在直线MQ的上方时，②当点D在直线MQ的下方时两种情况进一步讨论即可求解．

（1）如图①，∵当点P与点A重合时运动停止，且△PAQ可以构成三角形，

∴0＜t＜3．

∵四边形OABC是矩形，

∴∠B＝∠PAQ＝90°．

∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：

①当△QBC∽△PAQ时，

∴，

∴，

∴4t2﹣15t+9＝0．

∴t1＝3（舍），t2＝；

②当△CBQ∽△PAQ时，

∴,

∴，

∴t2﹣9t+9＝0．

∴t1＝，t2＝（舍去），

综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t＝或t＝；

（2）当t＝1时，P（1，0），Q（3，2）．

把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y＝x2+bx+c中并解得：

抛物线：y＝x2﹣3x+2．

∴顶点k（，），

连接MQ，

∵Q（3，2），M（0，2），

∴MQ∥x轴，

作抛物线对称轴，交MQ于E，

∴KM＝KQ．∴KE⊥MQ．

∴∠MKE＝∠QKE＝∠MKQ．设DQ交y轴于H．

当点D在直线MQ的上方时，如图②所示，

则∠DQM＝∠MKQ＝∠MKE．

∵∠HMQ＝∠MEK＝90°，

∴△HMQ∽△MEK．

∴,

∴,

解得MH＝2．

∴H（0，4）．

∴直线HQ的解析式为y＝﹣x+4．

又∵y＝x2﹣3x+2，

∴x2﹣3x+2＝﹣x+4．

解得x1＝3（舍），x2＝﹣．

∴D（﹣，）；

当点D在直线MQ的下方时，y轴上存在点H，如图③所示，使∠HQM＝∠MKQ＝∠MKE．

由对称性得H（0，0），即H与原点重合．

∴直线OQ的解析式y＝x．

又∵y＝x2﹣3x+2，

∴x2﹣3x+2＝x．

解得x1＝3（舍），x2＝．

∴D（，）．

综上所述，点D的坐标为（﹣，）或（，）．