题目内容
如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ=x，QR=y．（1）求点D到BC的距离DH的长；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据三角形相似的判定定理求出△BHD∽△BAC，根据相似三角形的性质求出DH的长；
（2）根据△RQC∽△ABC，根据三角形的相似比求出y关于x的函数关系式；
（3）画出图形，根据图形进行讨论：
①当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM．由于∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，∴∠1=∠C．
∴cos∠1=cosC=
=
，∴
=
，即可求出x的值；
②当PQ=RQ时，-
x+6=
，x=6；
③当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，故CR=
CE=
AC=2．由于tanC=
=
，x=
．
（2）根据△RQC∽△ABC，根据三角形的相似比求出y关于x的函数关系式；
（3）画出图形，根据图形进行讨论：
①当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM．由于∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，∴∠1=∠C．
∴cos∠1=cosC=
| 8 |
| 10 |
| 4 |
| 5 |
| QM |
| QP |
| 4 |
| 5 |
②当PQ=RQ时，-
| 3 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
③当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，故CR=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| QR |
| CR |
| BA |
| CA |
| 15 |
| 2 |
解答：解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=
=10．
∵∠DHB=∠A=90°，∠B=∠B．
∴△BHD∽△BAC，
∴
=
，
∴DH=
•AC=
×8=
（3分）
（2）∵QR∥AB，
∴∠QRC=∠A=90°．
∵∠C=∠C，
∴△RQC∽△ABC，
∴
=
，∴
=
，
即y关于x的函数关系式为：y=-
x+6．（6分）
（3）存在，分三种情况：
①当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM．
∵∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，
∴∠1=∠C．
∴cos∠1=cosC=
=
，
∴
=
，
∴
=
，
∴x=
．
②当PQ=RQ时，-
x+6=
，
∴x=6．
③作EM⊥BC，RN⊥EM，
∴EM∥PQ，
当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，
∴EN=MN，
∴ER=RC，
∴点R为EC的中点，
∴CR=
CE=
AC=2．
∵tanC=
=
，
∴
=
，
∴x=
．
综上所述，当x为
或6或
时，△PQR为等腰三角形． （12分）
∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=
| AB2+AC2 |
∵∠DHB=∠A=90°，∠B=∠B．
∴△BHD∽△BAC，
∴
| DH |
| AC |
| BD |
| BC |
∴DH=
| BD |
| BC |
| 3 |
| 10 |
| 12 |
| 5 |
（2）∵QR∥AB，
∴∠QRC=∠A=90°．
∵∠C=∠C，
∴△RQC∽△ABC，
∴
| RQ |
| AB |
| QC |
| BC |
| y |
| 6 |
| 10-x |
| 10 |
即y关于x的函数关系式为：y=-
| 3 |
| 5 |
（3）存在，分三种情况：
①当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM．
∵∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，
∴∠1=∠C．
∴cos∠1=cosC=
| 8 |
| 10 |
| 4 |
| 5 |
∴
| QM |
| QP |
| 4 |
| 5 |
∴
| ||||
|
| 4 |
| 5 |
∴x=
| 18 |
| 5 |
②当PQ=RQ时，-
| 3 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
∴x=6．
③作EM⊥BC，RN⊥EM，
∴EM∥PQ，
当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，
∴EN=MN，
∴ER=RC，
∴点R为EC的中点，
∴CR=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
∵tanC=
| QR |
| CR |
| BA |
| CA |
∴
-
| ||
| 2 |
| 6 |
| 8 |
∴x=
| 15 |
| 2 |
综上所述，当x为
| 18 |
| 5 |
| 15 |
| 2 |
点评：本题很复杂，把一次函数与三角形的知识相结合，使题目的综合性加强，提高了难度，解答此题的关键是根据题意画出图形，用数形结合的方法解答．
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