题目内容
如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下四个结论：①MN∥AB；②| 1 |
| MN |
| 1 |
| AC |
| 1 |
| BC |
| 1 |
| 4 |
分析：（1）用平行线分线段成比例定理；
（2）根据相似三角形的性质，化简分式可得；
（3）要利用二次函数最值即可求解．
（4）根据③直接得出MN≠
AB．
（2）根据相似三角形的性质，化简分式可得；
（3）要利用二次函数最值即可求解．
（4）根据③直接得出MN≠
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，
∴
=
①
∵CE∥AD，
∴△AMD∽△EMC，
∴
=
②
∵等腰直角△ACD和△BCE，
∴CD=AD，BE=CE，
∴
=
，
∴MN∥AB；
（2）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，
∴
=
，
设
=
=k，
则CN=kNE，DN=kNB，
∵MN∥AB，
∴△EMN∽△EAC，
∴
=
=
=
，
=
=
=
，
∴
+
=1，
∴
=
+
；
（3）∵
=
+
，
∴MN=
=
，
设AB=a（常数），AC=x，
则MN=
x（a-x）=-
（x-
a）2+
a≤
a；
（4）由③得出MN≠
AB，故④错误．
故答案为：①②③．
∴△CND∽△ENB，
∴
| CN |
| NE |
| DC |
| BE |
∵CE∥AD，
∴△AMD∽△EMC，
∴
| AM |
| ME |
| AD |
| CE |
∵等腰直角△ACD和△BCE，
∴CD=AD，BE=CE，
∴
| CN |
| NE |
| AM |
| ME |
∴MN∥AB；
（2）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，
∴
| CN |
| NE |
| DN |
| NB |
设
| CN |
| NE |
| DN |
| NB |
则CN=kNE，DN=kNB，
∵MN∥AB，
∴△EMN∽△EAC，
∴
| MN |
| AC |
| NE |
| CE |
| NE |
| NE+CN |
| 1 |
| k+1 |
| MN |
| BC |
| DN |
| DB |
| DN |
| DN+NB |
| k |
| k+1 |
∴
| MN |
| AC |
| MN |
| BC |
∴
| 1 |
| MN |
| 1 |
| AC |
| 1 |
| BC |
（3）∵
| 1 |
| MN |
| 1 |
| AC |
| 1 |
| BC |
∴MN=
| AC•BC |
| AC+BC |
| AC•BC |
| AB |
设AB=a（常数），AC=x，
则MN=
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
（4）由③得出MN≠
| 1 |
| 2 |
故答案为：①②③．
点评：此题考查了三角形相似的判定与性质、平行线分线段成比例定理、比例变形及二次函数的应用，综合性比较强．
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| A、AD-BD | ||
B、
| ||
C、
| ||
D、AD-
|
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