Question

已知抛物线y=ax²-2x+c与它的对称轴相交于点A（1，-4），与y轴交于C，与x轴正半轴交于B。

（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）设直线AC交x轴于D，P是线段AD上一动点（P点异于A，D），过P作PE∥x轴交直线AB于E，过E作EF⊥x轴于F，求当四边形OPEF的面积等于时点P的坐标。

Answer 1

解：（1）由题意，知点A（1，-4）是抛物线的顶点，
∴
∴a=1，c=-3，
∴抛物线的函数关系式为；
（2）由（1）知，点C的坐标是（0，-3），设直线AC的函数关系式为y=kx+b，
则，∴b=-3，k=-1，
∴y=-x-3，
由y=x²-2x-3=0，得x₁=-1，x₂=3，
∴点B的坐标是（3，0），
设直线AB的函数关系式是y=mx+n，
则，解得m=2，n=-6，
∴直线AB的函数关系式是y=2x-6，
设P点坐标为（x_P，y_P），
则y_P=-x_P-3，
∵PE∥x轴，
∴E点的纵坐标也是-x_P-3，
设E点坐标为（x_E，y_E），
∵点E在直线AB上，
∴-x_P-3=2x_E-6，
∴，
∵EF⊥x轴，∴F点的坐标为，
∴
∴，
，∴，
当y=0时，x=-3，
而，
∴P点的坐标为和（-2，-1）。