Question

如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA₁，再以等腰直角三角形ABA₁的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A₁BB₁，…，如此作下去，若OA=OB=1，则第2012个等腰直角三角形的面积S₂₀₁₂=________．

Answer 1

2²⁰¹⁰
分析：根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍表示出下一个三角形的直角边，然后分别求出各个三角形的面积，不难发现，后一个三角形的面积是前一个三角形面积的2倍，然后找出规律写出第n个三角形的面积的表达式，再求解第2012个三角形的面积即可．
解答：根据等腰直角三角形的性质，AB=OA=，A₁B=AB=×=2，A₁B₁=A₁B=2，
所以，第1个等腰直角△AOB的面积S₁=×1×1=，
第2个等腰直角△ABA₁的面积S₂=××=1，
第3个等腰直角△A₁BB₁的面积S₃=×2×2=2，
第4个等腰直角△A₁B₁B₂的面积S₃=×2×2=4，
…，
依此类推，第n个等腰直角三角形的面积S_n=2^n-2，
第2012个等腰直角三角形的面积S₂₀₁₂=2²⁰¹⁰．
故答案为：2²⁰¹⁰．
点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，数字变化规律的考查，根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍，表示出后一个三角形的直角边与前一个三角形的直角边的关系，然后得到相邻两个三角形的面积的关系是解题的关键．