Question

20．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD交于点O，E为AB中点，点F在CB的延长线上，且EF∥BD
（1）求证；四边形OBFE是平行四边形；
（2）当线段AD和BD之间满足什么条件时，四边形OBFE是矩形？并说明理由；
（3）当线段AD和BD之间满足什么条件时，四边形OBFE是正方形？请画出图形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）证明两组对边分别平行即可．
（2）结论：当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形．只要证明∠BOE=90°即可．
（3）结论：当AD⊥BD  AD=BD时，四边形OBFE是正方形．只要证明OB=OE即可．

解答 （1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵E为AB中点，
∴AE=BE
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE∥BC，
∵EF∥BD，
∴四边形OBFE是平行四边形．

解：（2）结论：当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD
∵E为AB中点，
∴AE=BE
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥AD，
∴∠BOE=∠BDA，
∵AD⊥BD，
∴∠BOE=BDA=90°，
∵四边形OBFE是平行四边形，
∴四边形OBFE是矩形．

（3）结论：当AD⊥BD  AD=BD时，四边形OBFE是正方形．

理由：∵OE为△ABD的中位线，
∴OE=$\frac{1}{2}$AD
∵O为BD中点，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD，
∵AD=BD，
∴OB=OE，
∵当AD⊥BD时，四边形OBFE是矩形，
∴当AD⊥BD  AD=BD时，四边形OBFE是正方形．

点评 本题考查平行四边形的性质、正方形的性质和判定、矩形的判定和性质、三角形的中位线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．