题目内容

在△ABC中，借助作图工具可以作出中位线EF，沿着中位线EF一刀剪切后，用得到的△AEF和四边形EBCF可以拼成平行四边形EBCP，剪切线与拼图如图示1，仿上述的方法，按要求完成下列操作设计，并在规定位置画出图示．
（1）在△ABC中，增加条件______，沿着______一刀剪切后可以拼成矩形，剪切线与拼图画在图示2的位置；
（2）在△ABC中，增加条件______，沿着______一刀剪切后可以拼成菱形，剪切线与拼图画在图示3的位置；
（3）在△ABC中，增加条件______，沿着______一刀剪切后可以拼成正方形，剪切线与拼图画在图示4的位置；
（4）在△ABC（AB≠AC）中，一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要确定剪切线，其操作过程（剪切线的作法）是：______，然后，沿着剪切线一刀剪切后可以拼成等腰梯形，剪切线与拼图画在图示5的位置．


解：（1）方法一：∠B=90°，中位线EF，如图示2-1；
方法二：AB=AC，中线（或高）AD，如图示2-2；

（2）AB=2BC（或者∠C=90°，∠A=30°），中位线EF，如图示3；

（3）方法一：∠B=90°且AB=2BC，中位线EF，如图示4-1；
方法二：AB=AC且∠BAC=90°，中线（或高）AD，如图示4-2；

（4）方法一：不妨设∠B＞∠C，在BC边上取一点D，作∠GDB=∠B交AB于G，过AC的中点E作EF∥GD交BC于F，则EF为剪切线．如图示5-1；
方法二：不妨设∠B＞∠C，分别取AB、AC的中点D、E，过D、E作BC的垂线，G、H为垂足，在HC上截取HF=GB，连接EF，则EF为剪切线．如图示5-2；
方法三：不妨设∠B＞∠C，作高AD，在DC上截取DG=DB，连接AG，过AC的中点E作EF∥AG交BC于F，则EF为剪切线．如图示5-3．
分析：根据矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质，
（1）可加条件∠B=90°，沿中位线EF剪切；
（2）可加条件AB=2BC（或者∠C=90°，∠A=30°），沿中位线EF剪切；
（3）可加条件：∠B=90°且AB=2BC，沿中位线EF剪切；
（4）不妨设∠B＞∠C，在BC边上取一点D，作∠GDB=∠B交AB于G，过AC的中点E作EF∥GD交BC于F，则EF为剪切线．
点评：此题主要考查矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质的灵活掌握．
练习册系列答案
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22、在△ABC中，借助作图工具可以作出中位线EF，沿着中位线EF一刀剪切后，用得到的△AEF和四边形EBCF可以拼成平行四边形EBCP，剪切线与拼图如图示1，仿上述的方法，按要求完成下列操作设计，并在规定位置画出图示．
（1）在△ABC中，增加条件
∠B=90°
，沿着
中位线EF
一刀剪切后可以拼成矩形，剪切线与拼图画在图示2的位置；
（2）在△ABC中，增加条件
AB=2BC
，沿着
中位线EF
一刀剪切后可以拼成菱形，剪切线与拼图画在图示3的位置；
（3）在△ABC中，增加条件
∠B=90°且AB=2BC
，沿着
中位线EF
一刀剪切后可以拼成正方形，剪切线与拼图画在图示4的位置；
（4）在△ABC（AB≠AC）中，一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要确定剪切线，其操作过程（剪切线的作法）是：
不妨设∠B＞∠C，在BC边上取一点D，作∠GDB=∠B交AB于G，过AC的中点E作EF∥GD交BC于F，则EF为剪切线。
，然后，沿着剪切线一刀剪切后可以拼成等腰梯形，剪切线与拼图画在图示5的位置．
23、在△ABC中，借助作图工具可以作出中位线EF，沿着中位线EF一刀剪切后，用得到的△AEF和四边形EBCF可以拼接成平行四边形EBCP，剪切线与拼图过程如图所示，依照上述方法，按要求完成下列操作设计，并画出图形说明．
（1）在△ABC中，增加条件
∠B=90°
，沿着
中位线EF
一刀剪切后可以拼接成矩形．
（2）在△ABC中，增加条件
AB=2BC
，沿着
中位线EF
一刀剪切后可以拼接成菱形．
（3）在△ABC中，增加条件
∠B=90°AB=2BC
，沿着
中位线EF
一刀剪切后可以拼接成正方形．
（4）在△ABC（AB≠AC）中，一刀剪切后也可以拼接成等腰梯形，首先要确定剪切线，其操作过程（剪切线的作法）是：
在BC边上取一点D，作∠GDB=∠B交AB于G，过AC的中点E作EF∥GD交BC于F，则EF为剪切线，
．然后，沿着剪切线一刀剪切后可以拼接成等腰梯形，画出剪切线与拼图示意图．
在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连接EF与 CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．
①求证：DG=DC；
②判断FH与FC的数量关系并加以证明．
（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，（1）中的其他条件不变，借助图2画出图形．在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在（1）中得出的结论是否发生改变，（本小题直接写出结论，不必证明）．
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数学学习总是如数学知识自身的生长历史一样，往往起源于猜测中的发现，我们所发现的不一定对，但是当利用我们已有的知识作为推理的前提论证之后，当所发现的在逻辑上没有矛盾之后，就可以作为新的推理的前提，数学中称之为定理．
（1）尝试证明：
等腰三角形的探索中借助折纸发现：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．但是当时并未说明这个结论的合理．现在我们学些了矩形的判定和性质之后，就可以解决这个问题了．如图1若在Rt△ABC中CD是斜边AB的中线，则CD=
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AB，你能用矩形的性质说明这个结论吗？请说明．
（2）迁移运用：利用上述结论解决下列问题：
①如图2所示，四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠DCB=90°，EF分别是BD、AC的中点，请你说明EF与AC的位置关系．
②如图3所示，?ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，∠AEC=90°，且∠BED=90°，试说明平行四边形ABCD是矩形．

作业宝（1）阅读理解：
我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图1所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为P，
“宽臂”的宽度=PQ=QR=RS，（这个条件很重要哦！）勾尺的一边MN满足M，N，Q三点共线（所以PQ⊥MN）．
下面以三等分∠ABC为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：
第一步：画直线DE使DE∥BC，且这两条平行线的距离等于PQ；
第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点P落在DE上，使勾尺的MN边经过点B，同时让点R落在∠ABC的BA边上；
第三步：标记此时点Q和点P所在位置，作射线BQ和射线BP．
请完成第三步操作，图中∠ABC的三等分线是射线______、______．
（2）在（1）的条件下补全三等分∠ABC的主要证明过程：
∵______，BQ⊥PR，
∴BP=BR．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）
∴∠______=∠______．
∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT=PQ，
∴∠______=∠______．
（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）
∴∠______=∠______=∠______．
（3）在（1）的条件下探究：数学公式是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请在图2中∠ABC的外部画出数学公式（无需写画法，保留画图痕迹即可）．

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