Question

（2013•达州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是⊙M的直径，其半圆交AB于点C，且AC=3．取BO的中点D，连接CD、MD和OC．
（1）求证：CD是⊙M的切线；
（2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求△PDM的周长最小时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当△PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使S_△QAM=

1

6

S_△PDM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接CM，可以得出CM=OM，就有∠MOC=∠MCO，由OA为直径，就有∠ACO=90°，D为OB的中点，就有CD=OD，∠DOC=∠DCO，由∠DOC+∠MOC=90°就可以得出∠DCO+∠MCO=90°而得出结论；
（2）根据条件可以得出△ACO∽△AOB而求出

AC

AO

=

AO

AB

，从而求出AB，在Rt△AOB中由勾股定理就可以求出OB的值，根据D是OB的中点就可以求出D的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式，求出对称轴，根据轴对称的性质连接AD交对称轴于P，先求出AD的解析式就可以求出P的坐标；
（3）根据S_△PDM=S_△ADM-S_△APM而求出其值就可以表示出S_△QAM的大小，设Q的坐标为m，根据三角形的面积公式就可以求出横坐标而得出结论．

解答：（1）证明：连接CM，
∵AO是直径，M是圆心，
∴CM=OM，∠ACO=90°，
∴∠MOC=∠MCO．
∵D为OB的中点，
∴CD=OD，
∴∠DOC=∠DCO．
∵∠DOC+∠MOC=90°，
∴∠DCO+∠MCO=90°，
即∠MCD=90°，
∴CD是⊙M的切线；

（2）解：∵∠ACO=∠AOB=90°，∠OAB=∠OAB，
∴△ACO∽△AOB，
∴

AC

AO

=

AO

AB

，
∴

3

5

=

5

AB

，
∴AB=

25

3

．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
BO=

20

3

，
∵D为OB的中点，
∴OD=

1

2

OB=

10

3

，
∴D（0，

10

3

）．
∵OM=AM=

1

2

OA=

5

2

，
∴M（

5

2

，0）．设抛物线的解析式为y=a（x-

5

2

）（x-5），由题意，得

10

3

=a（0-

5

2

）（0-5），
解得：a=

4

15

，
∴抛物线的解析式为：y=

4

15

（x-

5

2

）（x-5），
=

4

15

（x-

15

4

）²-

5

12

．
连接AD交对称轴于P，设直线AD的解析式为y=kx+b，由题意，得

10 3 =b 0=5k+b

，
解得：

k=- 2 3 b= 10 3

，
∴直线AD的解析式为：y=-

2

3

x+

10

3

，
当x=

15

4

时，
y=

5

6

，
∴P（

15

4

，

5

6

）；

（3）解：存在．
∵S_△PDM=S_△ADM-S_△APM，
∴S_△PDM=

1

2

×

5

2

×

10

3

-

1

2

×

5

2

×

5

6

，
=

25

8

，
∴S_△QAM=

25

8

×

1

6

=

25

48

．
设Q的横坐标为m，由题意，得

1

2

×

5

2

|m|=

25

48

，
∴|m|=

5

12

，
∴m=±

5

12

，
当m=

5

12

时，

5

12

=

4

15

（x-

15

4

）²-

5

12

．
x₁=

15+5 2

4

，x₂=

15-5 2

4

，
当m=-

5

12

时，
-

5

12

=

4

15

（x-

15

4

）²-

5

12

．
x=

15

4

．
∴Q（

15+5 2

4

，

5

12

），（

15-5 2

4

，

5

12

），（

15

4

，-

5

12

）．

点评：本题考查圆周角定理的运用，勾股定理的运用，圆的切线的判定定理的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，抛物线的顶点式的运用，三角形的面积公式的运用，轴对称性质的运用，解答时求出抛物线的解析式是解答本题的关键．