Question

【题目】如图，在中，，

（1）作边的垂直平分线交于点，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

（2）在（1）的条件下，连接，判断线段与的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2），详见解析

【解析】

（1）根据线段垂直平分线的作法画出图形即可；
（2）先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由线段垂直平分线的性质求出∠BAE的度数，进而得出∠CAE的度数，利用含30度角的直角三角形的性质可得出AE=2CE，再由角平分线的性质得出CE=DE即可．

（1）如图所示，D、E就是所求作的点；

（2）BC=3DE，证明如下：

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
∵边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B=30°，
∴∠CAE=60°-30°=30°，
∴AE=BE=2CE．
∵∠BAE=∠CAE=30°，
∴AE是∠BAC的平分线，
∴CE=DE，
∴BC=3DE．