Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，延长BC至E点，使CE＝BC，点P是AD边上的动点，以cm/s的速度从D点到A点方向运动，连接AC、CP、DE．

（1）若AD=，运动时间为t，当四边形PCED为平行四边形时，求t的值；

（2）M是CP的中点，PF⊥AC，垂足为F，PG⊥CD，垂足为G，连接MF，MG，求证：∠GMF=2∠ACD.

（3）在（2）的条件下，若∠B=75°，∠ACB=45°，AC=，连接GF，求△MGF周长的最小值.

Answer 1

【答案】（1）2s；（2）见解析.（3）（3+6）cm.

【解析】

（1）根据平行四边形的性质得到PD=CE=AD，即可求出t；

（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到FC=CM=PM,得到∠PMF=2∠PCF，同理得到∠PMG=2∠PCG，即可证明.

(3)过点M作MN⊥FG于N，有等腰三角形的性质可得MN= MF，NG=FN= MN= MF，即可得△MGF周长= PC，当PC取最小时，△MGF周长有最小值，有直角三角形的性质可求△MGF周长最小值.

（1）∵四边形PCED为平行四边形

∴PD=CE

∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD=CE=AD=2

故t=2，

解得t=2s;

(2)∵PF⊥AC,∴△PFC为直角三角形，

∵M是PC的中点，

∴FM==PM=CM,

∴∠MFC=∠MCF，

∴∠PMF=∠MFC+∠MCF =2∠PCF，

∵PG⊥CD，

同理可得∠PMG=2∠PCG，

∴GMF=∠PMF+∠PMG=2∠PCF+2∠PCG=2（∠PCF∠PCG）=2∠ACD，

即∠GMF=2∠ACD.

(3) 如图，过点M作MN⊥FG于N，

∵四边形ABCD是平行四边形

∴∠B=∠ADC=75°，AD//BC

∴∠ADC+∠BCD=180°，∠DAC=∠ACB=45°

∴∠BCD=105°

∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=60°

∴∠GMF=120°，且FM=MG

∴∠MGF=∠MFG=30°，且MN⊥FG，FM=MG

∴MN= MF，NG=FN= MN= MF

∵△MGF周长=FG+MF+MG=（+2）MF= PC

∴当PC取最小时，△MGF周长有最小值

∴当PC⊥AD时，PC有最小值

∴此时，∠DAC=45°，PCLAD，AC=6 cm，PC=6

∴△MGF周长最小值=（3+6）cm