Question

已知 关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+4k-3=0．
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．

Answer 1

解：（1）关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+4k-3=0，
△=（2k+1）²-4（4k-3）=4k²-12k+13=4+4＞0恒成立，
故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）根据勾股定理得：b²+c²=a²=31①
因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，
则b+c=2k+1②，bc=4k-3③，
因为（b+c）²-2bc=b²+c²=31，
即（2k+1）²-2（4k-3）=31，
整理得：4k²+4k+1-8k+6-31=0，即k²-k-6=0，
解得：k₁=3或k₂=-2（舍去），
则b+c=2k+1=7，
又因为a=，
则△ABC的周长=a+b+c=+7．
分析：（1）根据△＞0即可证明无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于b，c的方程，解出b，c即可得出答案．
点评：本题考查了根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，难度较大，关键是巧妙运用△＞0恒成立证明（1），再根据勾股定理和根与系数的关系列出方程组进行解答．