题目内容

如图，已知直线 $数学公式$ 分别交y轴、x轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD过点A，D，C的抛物线y=ax²+bx+1与直线的另一交点为点E
（1）点C的坐标为；点D的坐标为．并求出抛物线的解析式；
（2）若正方形以每秒 $数学公式$ 个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．

解：（1）∵A在y轴上，B在x轴上，则
A（0，1），B（2，0）
C（3，2），D（1，3）
过点A，D，C的抛物线：y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+1
与直线交点为A（0，1），E（4，-1）
所以点E坐标为（4，-1）；

（2）①当点A运动到点B时，t=1，当0＜t≤1时，
∵∠OBA=∠GBB′，
tan∠OBA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴tan∠GFB′= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴GB′= $\text{[math]}$ t，
∴S_△BB′G= $\text{[math]}$ BB′×GB′= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ t× $\text{[math]}$ t= $\text{[math]}$ t²；
②当点C运动到x轴t=2，
当1＜t≤2时，
A′B′=AB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴A′F= $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ ，
∴A′G= $\text{[math]}$ ，

∵B′H= $\text{[math]}$ t，
∴S_{梯形A′B′HG}= $\text{[math]}$ （A′G+B′H）×A′B′，
= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ t）× $\text{[math]}$ ，
= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ；
③当点D运动到x轴上时，t=3，当2＜t≤3时，
∵A′G= $\text{[math]}$ ，∴GD′= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵S_△AOF= $\text{[math]}$ ×1×2=1，OA=1，
∵△AOF∽△GD′H，

∴ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）²，
∴S_△GD′H=（ $\text{[math]}$ ）²，
∴S_{五边形GA′B′C′H}=（ $\text{[math]}$ ）²-（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ ；

（3）∵t=3，BB′=AA′=3 $\text{[math]}$ ，
∴S_阴影=S_{矩形BB′C′C}=S_{矩形AA′D′D}=AD×AA′= $\text{[math]}$ =15．
分析：（1）由正方形的性质，可直接求出C，D的坐标，然后可求出抛物线解析式；
（2）动点问题的解决应找到特殊分界点进行讨论，当点A运动到点F时，t=1，当0＜t≤1时，当点C运动到x轴t=2，当点D运动到x轴上时，t=3，当2＜t≤3时，分别得出函数解析式；
（3）根据阴影部分比较特殊，可以转化为矩形的面积，从而求出．
点评：此题主要考查二次函数解析式的求法，以及动点问题，动点问题的解决关键是找到特殊分界点，进行讨论是解决问题的关键，此题综合性较强，分析过程中必须细心．