Question

对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）==b．

（1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=1．

①求a，b的值；

②若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围；

（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？

Answer 1

【考点】分式的混合运算；解二元一次方程组；一元一次不等式组的整数解．

【专题】新定义．

【分析】（1）①已知两对值代入T中计算求出a与b的值；

②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出p的范围即可；

（2）由T（x，y）=T（y，x）列出关系式，整理后即可确定出a与b的关系式．

【解答】解：（1）①根据题意得：T（1，﹣1）==﹣2，即a﹣b=﹣2；

T=（4，2）==1，即2a+b=5，

解得：a=1，b=3；

②根据题意得：，

由①得：m≥﹣；

由②得：m＜，

∴不等式组的解集为﹣≤m＜，

∵不等式组恰好有3个整数解，即m=0，1，2，

∴2＜≤3，

解得：﹣2≤p＜﹣；

 

（2）由T（x，y）=T（y，x），得到=，

整理得：（x²﹣y²）（2b﹣a）=0，

∵T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立，

∴2b﹣a=0，即a=2b．

【点评】此题考查了分式的混合运算，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键．