Question

如图，直线y=-x与双曲线y=

2

x

（只在第一象限内的部分）在同一直角坐标系内．
①直线y=-x至少向上平移

 

个单位才能与双曲线y=

2

x

有交点；
②现有一个半径为1且圆心P在双曲线y=

2

x

上的一个动圆⊙P，⊙P在运动过程中圆上的点与直线y=-x的最近距离为

 

．

Answer 1

分析：①设一次函数的解析式为y=-x+b，与反比例函数解析式组成方程组，消去y，让所得方程的根的判别式为非负数即可求得k的最小值，也就求得了至少平移的距离；
②找到反比例函数上的点到直线y=-x的最小距离，减去圆的半径即可．

解答：解：①设一次函数的解析式为y=-x+b，
两个函数有交点，则

y=-x+b y= 2 x

，
∴-x+b=

2

x

；
-x²+bx-2=0，
两个函数有交点，则b²-8≥0，
解得b≥2

2

，
∴直线y=-x至少向上平移2

2

个单位才能与双曲线y=

2

x

有交点；

②由①得向上移动2

2

单位后与反比例函数图象有一个交点．那么y=-x+2

2

与y=-x相距2

2

个单位，由于⊙P的半径为1，所以⊙P在运动过程中圆上的点与直线y=-x的最近距离为1．

点评：解决本题的关键是理解两个函数解析式有交点，即两个函数组合成的一元二次方程的根的判别式为非负数．