Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l₁：y=-x+3与l₂：y=

1

3

x+

1

3

交于点C，分别交x轴交于点A，B．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线l₁上是否存在点P，使△PBA是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）A，B是l₁和l₂与x轴的交点坐标，C是这两个直线的交点坐标．
（2）求出AB的长和C的纵坐标可求出面积．
（3）假设存在，有两种情况，当AB为直角边时，当AB为斜边时，看看能不能求出解．

解答：解：（1）A（3，0），B（-1，0）．（2分）
C（2，1）．（4分）
注：要求学生书写简要过程．

（2）S_△ABC=

1

2

×4×1=2．（6分）

（3）存在．
①当AB为直角边时．
如图，过点B作P₁B⊥x轴，交l₁于P₁，∠P₁BA=90°．
易得△AP₁B为等腰直角三角形，P₁（-1，4）．（7分）
②当AB为斜边时．
如图，过点B作BP₂⊥l₁于P₂，∠BP₂A=90°．
易得△AP₂B为等腰直角三角形，P₂（1，2）．（8分）
综上，在直线l₁上存在点P₁（-1，4），P₂（1，2），使△PBA是等腰直角三角形．

点评：本题考查一次函数的综合运用，关键是根据函数式能够求出坐标和能够根据坐标求面积和判断三角形的形状．