Question

设直线nx+（n+1）y=

2

（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为S_n（n=1，2，…2014），则S₁+S₂+…+S₂₀₁₄的值为

 

．

Answer 1

考点：一次函数图象上点的坐标特征

专题：规律型

分析：依次求出S₁、S₂、S_n，就发现规律：S_n=

1

2

×

1

n(n+1)

，然后求其和即可求得答案．注意

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．

解答：解：∵直线nx+（n+1）y=

2

，
∴y=-

n

n+1

x+

1

n+1

，
当n=1时，直线为y=-

1

2

x+

1

2

，
∴直线与两坐标轴的交点为（0，

1

2

），（1，0），
∴S₁=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

；
当n=2时，直线为y=-

2

3

x+

1

3

，
∴直线与两坐标轴的交点为（0，

1

3

），（

1

2

，0），
∴S₂=

1

2

×

1

2

×

1

3

=

1

2

×

1

2×(2+1)

；
当n=3时，直线为y=-

3

4

x+

1

4

，
∴直线与两坐标轴的交点为（0，

1

4

），（

1

3

，0），
∴S₃=

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

2

×

1

3×(3+1)

；
…，
Sn=

1

2

×

1

n(n+1)

，
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₄=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2014

-

1

2015

）=

1

2

×（1-

1

2015

）=

2014

2×2015

=

2014

4030

．
故答案为：

2014

4030

．

点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意找出规律是解答此题的关键．