Question

已知n为正整数，且4⁷＋4ⁿ＋4¹⁹⁹⁸是一个完全平方数，则n的一个值是____________.

Answer 1

1003或3988

（1）4⁷＋4ⁿ＋4¹⁹⁹⁸

=（2⁷）²＋2·2⁷·2^2n－8＋（2¹⁹⁹⁸）²

∵4⁷＋4ⁿ＋4¹⁹⁹⁸是一个完全平方数.

∴  2^2n－8＝2¹⁹⁹⁸

即  2n－8＝1998.

∴当n＝1003时，4⁷＋4ⁿ＋4¹⁹⁹⁸是完全平方数.

（2）4⁷＋4ⁿ＋4¹⁹⁹⁸＝4⁷＋4¹⁹⁹⁸＋4ⁿ

＝（2⁷）²＋2·2⁷·2³⁹⁸⁸＋（2ⁿ）²

∵4⁷＋4ⁿ＋4¹⁹⁹⁸是一个完全平方数.

∴  2³⁹⁸⁸＝2ⁿ

∴  n＝3988.综上得  n＝1003或n＝3988