Question

（1）画出函数y=|x²-2

3

x+1|的图象；
（2）为使方程|x²-2

3

x+1|=

1

3

x+b有四个不同的实数根，求b的变化范围．

Answer 1

分析：（1）画出函数y=x²-2

3

x+1的图象，将x轴下方的图象沿x轴对折到x轴上方即可；
（2）根据函数图象，结合y=|x²-2

3

x+1|的图象与y=

1

3

x+b图象的交点个数即是方程|x²-2

3

x+1|=

1

3

x+b的实数根，分别找出有三个交点的分界点即可求出答案．

解答：解：（1）如图所示：画出y=x²-2

3

x+1与y=-x²+2

3

x-1的函数图象，x轴上方部分即是函数y=|x²-2

3

x+1|的图象；

（2）∵为使方程|x²-2

3

x+1|=

1

3

x+b有四个不同的实数根，
∴可以结合y=|x²-2

3

x+1|的图象与y=

1

3

x+b图象的交点个数为4个即可，
结合图象可得出：当一次函数y=

1

3

x+b经过B点时，两个图象三个交点，当向上平移图象将四个交点，
∵y=|x²-2

3

x+1|与x轴交点坐标，
∴0=x²-2

3

x+1，
解得：x₁=

3

-

2

，x₂=

3

+

2

（不合题意舍去），
∴B点的坐标为：（

3

-

2

，0），
将B点代入y=

1

3

x+b，
∴0=

1

3

×（

3

-

2

）+b，
解得：b=

6

3

-1，
∴b＞

6

3

-1时两图象有四个交点；
当一次函数y=

1

3

x+b经过顶点A点时，两个图象三个交点，当向下平移图象将四个交点，
∵结合图象可知y=|x²-2

3

x+1|的顶点坐标与y=-x²+2

3

x-1的顶点坐标相同，
∴y=|x²-2

3

x+1|的顶点坐标为：y=-x²+2

3

x-1=-（x-

3

）²+2，
∴A点坐标为：（

3

，2），
∴把顶点A代入y=

1

3

x+b，
∴2=

1

3

×

3

+b，
解得：b=1，
∴当b＜1时两图象有四个交点；
综上所述：当

6

3

-1＜b＜1时，两图象有四个交点；
∴为使方程|x²-2

3

x+1|=

1

3

x+b有四个不同的实数根，b的变化范围是：

6

3

-1＜b＜1．

点评：此题主要考查了函数图象的性质以及方程与函数的综合应用，结合图象得出y=|x²-2

3

x+1|的图象与y=

1

3

x+b图象的交点个数即是方程|x²-2

3

x+1|=

1

3

x+b的实数根是解决问题的关键．